Question

Розв’яжіть однорідне диференціальне рівняння (x+y)dx+(y-2x)dy=0

Answer 1

Решение.

Однородное дифференциальное уравнение 1 порядка. Решаем с помощью замены .

$\displaystyle \bf (x+y)\, dx+(y-2x)\, dy=0\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+y}{y-2x}\ \ \ ,\\\\Zamena:\ \ t=\dfrac{y}{x}\ \ \Rightarrow \ \ \ y=tx\ ,\ \ y'=t'x+t\ \ .\\\\t'x+t=\dfrac{x+tx}{tx-2x}\ \ ,\ \ \ t'x+t=\dfrac{1+t}{t-2}\ \ ,\ \ \ t'x=\dfrac{1+t}{t-2}-t\ \ ,\\\\\\ t'x=\dfrac{1+t-t^2+2t}{t-2}\ \ ,\ \ \ t'x=-\dfrac{t^2-3x-1}{t-2}\ \ ,\\\\\\\dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{t^2-3x-1}{x\, (t-2)}\ \ ,\ \ \ \int \frac{(t-2)\, dt}{t^2-3x-1}=-\int \frac{dx}{x}\ \ ,$

$\displaystyle \bf \int \frac{(t-2)\, dt}{t^2-3x-1}=\int \frac{(t-2)\, dt}{(t-1,5)^2-3,25}=\Big[\ u=t-1,5\ ,\ t=u+1,5\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{u+0,5}{u^2-3,25}\, du=\frac{1}{2}\int \frac{2u\, du}{u^2-3.25}+\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2-\frac{13}{4}}=\\\\\\=\frac{1}{2}ln|u^2-3,25|+\frac{1}{2\sqrt{13}}ln\Big|\, \frac{u-\sqrt{\frac{13}{4}}}{u+\sqrt{\frac{13}{4}}}\, \Big|+C=\\\\\\=\frac{1}{2}ln|u^2-3,25|+\frac{1}{2\sqrt{13}}ln\Big|\, \frac{2u-\sqrt{13}}{2u+\sqrt{13}}\, \Big|+C=$

$\displaystyle \bf =\frac{1}{2}ln\Big|\, \frac{y^2}{x^2}-3,25\, \Big|+\frac{1}{2\sqrt{13}}ln\Big|\, \frac{\frac{2y}{x}-3-\sqrt{13}}{\frac{2y}{x}-3+\sqrt{13}}\, \Big|+C=\\\\\\=\frac{1}{2}}ln\Big|\, \frac{4y^2-13x^2}{x^2}\, \Big|+\frac{1}{2\sqrt{13}}ln\Big|\, \frac{2y-3x-x\sqrt{13}}{2y-3x+x\sqrt{13}}\, \Big|+C$

Общий интеграл :

$\displaystyle \bf \frac{1}{2}ln\Big|\, \frac{4y^2-13x^2}{x^2}\, \Big|+\frac{1}{2\sqrt{13}}ln\Big|\, \frac{2y-3x-x\sqrt{13}}{2y-3x+x\sqrt{13}}\, \Big|=-ln|\, x\, |+C_1$