Question

Решите систему уравнений:
\begin{cases}
x + 2y - z = -1 \
2x - y + z = 5 \
3x + 4y - 2z = 7
\end{cases}
Варианты ответов:
a) $(x,y,z) = (1,1,3)$
b) $(x,y,z) = (-1,1,3)$
c) $(x,y,z) = (1,-1,3)$
d) $(x,y,z) = (-1,-1,3)$
e) $(x,y,z) = (\pm 1, \pm 1, \pm 3)$

Answer 1

Чтобы решить систему уравнений, можно использовать метод Крамера. Этот метод позволяет решить систему уравнений трех переменных с помощью нахождения определителей.

Определитель системы уравнений вычисляется как:

$$\Delta = \begin{vmatrix}

1 & 2 & -1 \

2 & -1 & 1 \

3 & 4 & -2

\end{vmatrix}$$

Рассчитываем:

$$\Delta = (1)((-1) - 2(-2)) - (2)(2 - (-1)) + (-1)(4 - 3) = 1 + 6 - 3 = 4$$

Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений имеет единственное решение.

Далее вычисляем определители $x$, $y$ и $z$:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix}

-1 & 2 & -1 \

5 & -1 & 1 \

7 & 4 & -2

\end{vmatrix} = (-1)(-1 - 4) - (2)(5 - (-1)) + (-1)(7 - 2) = -5$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 \

2 & 5 & 1 \

3 & 4 & -2

\end{vmatrix} = (1)(5 + (-2)) - (-1)(2 - 3) + (-1)(4 - 3) = 3$$

$$\Delta_z = \begin{vmatrix}

1 & 2 & -1 \

2 & -1 & 1 \

7 & 4 & 7

\end{vmatrix} = (1)(-1 - 1) - (2)(2 - 7) + (-1)(4 - 4) = -2$$

Теперь мы можем найти значения переменных $x$, $y$ и $z$:

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-5}{4} = -\frac{5}{4}$$

$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{3}{4}$$

$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом, решением системы уравнений является $(x,y,z) = (-\frac{5}{4}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{2})$. Правильным ответом будет вариант e) $(x,y,z) = (\pm 1, \pm 1, \pm 3)$.