В правильной четырёхугольный пирамиде SABCD все ребра равны 1. найдите расстояние между прямыми AD и SB
Пожалуйстааа
Ответы
Ответ: √6/3 ед.
Объяснение:
Плоскость CSB, проходящая через прямую SB, параллельна прямой AD, так как AD параллельна прямой ВC (стороны квадрата), лежащей в плоскости CSB. Значит, искомое расстояние - это перпендикуляр из любой точки прямой AD к плоскости CSB.
Проведем высоты SP и SH к сторонам ВC и AD правильных треугольников (все стороны пирамиды равны - дано) CSB и ASD соответственно. Отметим, что плоскость получившегося треугольника PSH перпендикулярна плоскости CSB (так как SP⊥BC, PH⊥AD, PH⊥BC и SH⊥AD по построению. Тогда искомым расстоянием будет высота НК треугольника PSH, проведенная к стороне SP. Отметим, что SP = SH = √3/2, так как являются высотами правильных (все стороны пирамиды равны 1 ед. - дано) треугольников. Отрезок РН = 1 (равен стороне квадрата АВСD, так как параллелен сторонам квадрата).
Найдем высоту SO равнобедренного треугольника PSH. по Пифагору SO = √(PS²-PO²), где РО = РН/2 = 1/2 ед.
SO = √((√3/2)²-(1/2)²) = √2/2 ед.
Площадь этого треугольника равна S = (1/2)·PH·SO = (1/2)·1·(√2/2) = √2/4.
Тогда высота треугольника PSH НК = 2S/PS (из формулы площади треугольника).
НК = 2·(√2/4)·(2/√3) = √2/√3 = √6/3 ед.
