Question

Определить координаты центра и радиус окружности, заданным уравнением x²+y²+3y=0

Answer 1

Уравнение окружности с центром в точке $(x_0;\ y_0)$ радиуса $R$ имеет вид:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

Рассмотрим уравнение:

$x^2+y^2+3y=0$

Необходимо выделить полный квадрат из выражения $y^2+3y$:

$x^2+y^2+2\cdot y\cdot \dfrac{3}{2} =0$

В левой части для того чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы не хватает квадрата второго выражения. Искусственно добавим его и вычтем:

$x^2+y^2+2\cdot y\cdot \dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2} \right)^2-\left(\dfrac{3}{2} \right)^2 =0$

В левой части применяется формула квадрата суммы:

$x^2+\left(y+\dfrac{3}{2} \right)^2-\left(\dfrac{3}{2} \right)^2 =0$

А оставшийся квадрат удачно переносится в правую часть, где обычно располагается квадрат радиуса:

$x^2+\left(y+\dfrac{3}{2} \right)^2=\left(\dfrac{3}{2} \right)^2$

Таким образом, центр окружности расположен в точке (0; -3/2), радиус окружности равен 3/2.

Ответ: $O\left(0;\ -\dfrac{3}{2} \right);\ R=\dfrac{3}{2}$