Question

cos4x×lg(-x^2+x+2)=0
помогите срочно ​

Answer 1

Ответ:

я думаю тебе так пойдет!

Answer 2

$\cos4x\cdot\lg(-x^2+x+2)=0$

ОДЗ: Подлогарифмическое выражение должно быть положительным:

$-x^2+x+2 > 0$

$x^2-x-2 < 0$

$(x-2)(x+1) < 0$

$\boxed{x\in(-1;\ 2)}$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получим совокупность:

$\left[\begin{array}{l} \cos4x=0 \\ \lg(-x^2+x+2)=0 \end{array}\right.$

Решаем первое уравнение:

$\cos4x=0$

$4x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{4} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что не все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Проведем отбор корней. Для этого составим и решим двойное неравенство:

$-1 < \dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi n}{4} < 2$

$-8 < \pi +2\pi n < 16$

$-8-\pi < 2\pi n < 16-\pi$

$\dfrac{-8-\pi }{2\pi} < n < \dfrac{16-\pi}{2\pi}$

$-\dfrac{4}{\pi }-\dfrac{1 }{2} < n < \dfrac{8}{\pi }-\dfrac{1}{2}$

Оценим левую границу. Так как $3 < \pi < 4$, то:

$-\dfrac{4}{3 }-\dfrac{1 }{2} < -\dfrac{4}{\pi }-\dfrac{1 }{2} < -\dfrac{4}{4}-\dfrac{1 }{2}$

$-\dfrac{8}{6 }-\dfrac{3 }{6} < -\dfrac{4}{\pi }-\dfrac{1 }{2} < -1-\dfrac{1 }{2}$

$-2 < -\dfrac{11 }{6} < -\dfrac{4}{\pi }-\dfrac{1 }{2} < -1\dfrac{1 }{2} < -1$

Значит:

$-2 < -\dfrac{4}{\pi }-\dfrac{1 }{2} < -1$

Оценим правую границу. Так как $3 < \pi < 3.2$, то:

$\dfrac{8}{3.2}-\dfrac{1}{2} < \dfrac{8}{\pi }-\dfrac{1}{2} < \dfrac{8}{3 }-\dfrac{1}{2}$

$2.5-0.5 < \dfrac{8}{\pi }-\dfrac{1}{2} < \dfrac{16}{6 }-\dfrac{3}{6}$

$2 < \dfrac{8}{\pi }-\dfrac{1}{2} < \dfrac{13}{6} < 3$

Значит:

$2 < \dfrac{8}{\pi }-\dfrac{1}{2} < 3$

Таким образом, неравенству $-\dfrac{4}{\pi }-\dfrac{1 }{2} < n < \dfrac{8}{\pi }-\dfrac{1}{2}$ удовлетворяют целые числа: -1; 0; 1; 2.

Найдем соответствующие корни:

$n=-1:\ x=\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi }{4} \cdot(-1)=\boxed{-\dfrac{\pi }{8}}$

$n=0:\ x=\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi }{4} \cdot0=\boxed{\dfrac{\pi }{8} }$

$n=1:\ x=\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi }{4} \cdot1=\boxed{\dfrac{3\pi }{8} }$

$n=2:\ x=\dfrac{\pi }{8} +\dfrac{\pi }{4} \cdot2=\boxed{\dfrac{5\pi }{8} }$

Решаем второе уравнение:

$\lg(-x^2+x+2)=0$

$-x^2+x+2=10^0$

$-x^2+x+2=1$

Заметим, что на этом шаге ОДЗ уже выполнилось, поэтому дополнительно проверять корни на принадлежность ОДЗ не нужно.

$x^2-x-1=0$

$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5$

$x=\boxed{\dfrac{1\pm\sqrt{5} }{2}}$

Ответ: $-\dfrac{\pi }{8} ;\ \dfrac{\pi }{8} ;\ \dfrac{3\pi }{8} ;\ \dfrac{5\pi }{8} ;\ \dfrac{1\pm\sqrt{5} }{2}$