Question

Решите систему неравенств:
[2x-$\frac{x+1}{2}$$\geq$$\frac{x-1}{3}$
[(x+5)(x-5)+37$\leq$(x-6)²

Answer 1

Ответ:

x∈[1/7;2]

Объяснение:

$\left. \begin{cases} { \displaystyle 2 - \frac{x + 1}{2} \geqslant \frac{x - 1}{3} } \\ { (x + 5)(x - 5) + 37 \leqslant (x - 6) {}^{2} } \end{cases} \right.$

Решим отдельно оба неравенства.

Первое:

$\displaystyle 2 - \frac{x + 1}{2} \geqslant \frac{x - 1}{3}$

Перенесём дробь из правой части в левую и напишем всё над одним общим знаменателем:

$\displaystyle2 x- \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 1}{3} \geqslant 0 \\ \frac{12x - 3(x + 1) - 2(x - 1)}{6} \geqslant 0 \\ \frac{12x - 3x - 3 - 2x + 2}{6} \geqslant0 \\ \frac{7x - 1}{6} \geqslant 0 \\ 7x - 1 \geqslant 0 \\ 7x \geqslant 1 \\ \boldsymbol{x \geqslant \frac{1}{7} }$

Второе:

$\displaystyle(x + 5)(x - 5) + 37 \leqslant (x - 6) {}^{2}$

Действуем по формулам сокращенного умножения. Применим для $(x+5)(x-5)$ формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Для правой части неравенства применим формулу квадрата разности : $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$x {}^{2} - 25 + 37 \leqslant x {}^{2} - 12x + 36$

Переносим и вычисляем подобные:

$\displaystyle x {}^{2} - 25 + 37 - x {}^{2} + 12x - 36 \leqslant 0 \\ 12x - 24 \leqslant 0 \\ 12x \leqslant 24 \\ \boldsymbol{ x \leqslant 2}$

Теперь будем иметь следующую систему:

$\left. \begin{cases} {\displaystyle x \geqslant \frac{1}{7} } \\ { x \leqslant 2 } \end{cases} \right.$

Найдя пересечение в итоге мы получим промежуток , который является решением данного задания:

$\displaystyle \boxed{x \in \bigg[ \frac{1}{7};2 \bigg ]}$