Question

Обчисліть подвійний інтеграл ∫∫D (x^2 + 2y)dxdy, якщо область інтегрування D обмежена лініями y = 0, y = x, y = 2 − x.

Answer 1

Построим графики функций: y = x и y = 2 - x. Область интегрирования D: $\displaystyle \left \{ {{0\leq y\leq 1} \atop {y\leq x\leq 2-y}} \right.$

$\displaystyle \iint\limits_{D}(x^2+2y)dxdy=\int\limits^1_0 {} \, dy\int\limits^{2-y}_y {(x^2+2y)} \, dx=\int\limits^1_0 {\left(\dfrac{x^3}{3}+2xy\right)\bigg|^_{2-y}}_y \, dy=$

$\displaystyle \int\limits^1_0 {\left(\dfrac{(2-y)^3}{3}+2y(2-y)-\dfrac{y^3}{3}-2y^2\right)} \, dy=\int\limits^1_0 {\left(\dfrac{(2-y)^3}{3}-\dfrac{y^3}{3}+4y-4y^2\right)} \, dy=\\ \\ \\ =\left(-\dfrac{(2-y)^4}{12}-\dfrac{y^4}{12}+2y^2-\dfrac{4y^3}{3}\right)\bigg|^1_0=-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{12}+2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{2}$