Question

Допоможіть будь ласка

Дано вершини трикутної піраміди
А ( 2, -3 ,1 ) В ( 6, 1, -1 )
С ( 4, 8, -9 ) D ( 2, -1, 2 )
Знайти:
1. Координати та довжину вектора АВ
2. Внутрішній кут А трикутника ∆ АВC
3. Площу грані АВС
4 Об'єм піраміди AВСD​​

Answer 1

Дано вершини трикутної піраміди

А ( 2, -3 ,1 ), В ( 6, 1, -1 ), С ( 4, 8, -9 ), D ( 2, -1, 2 )

Знайти:

1. Координати та довжину вектора АВ.

AB = (6-2; 1-(-3); -1-1) = (4; 4; -2).

Длина (модуль) АВ = √(16+16+4) = √36 = 6.

2. Внутрішній кут А трикутника ∆ АВC.

Применим векторный метод.

Вектор АВ = (4; 4; -2), |AB| = 6.

AC = (4-2; 8-(-3); -9-1) = (2; 11; -10).

Длина (модуль) АC = √(4+121+100) = √225 = 15.

Теперь находим косинус угла А.

cos A = (4*2+4*11+(-2)*(-10))/(6*15) = 72/90 = 4/5.

Угол А = arccos(4/5) =0,6435 радиан или 36,8699 градуса.

3. Площу грані АВС.

Она равна (1/2) модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

i          j        k |         i         j  

4       4       -2 |        4        4

2      11    -10 |       2        11 = -40i -4j + 44k + 40j + 22i – 8k =

                                            = -18i + 36j + 36k.

S = (1/2)* √(324+1296+1296) =(1/2)√2916 = (1/2)*54 = 27 кв. ед.

4 Об'єм піраміди AВСD.

Надо найти вектор AD. А ( 2, -3 ,1 ), D ( 2, -1, 2 )

AD = (2-2; -1-(-3); 2-1) = (0; 2; 1).

Находим смешанное произведение векторов АВ, АС и AD.

AB*AC = -18   36  36

     AD =   0     2     1

           =  0  +  72 + 36 = 108.

V = (1/6)*108 = 18 куб. ед.