Question

решите показательные неравенства​

Answer 1

Ответ:

Чтобы решить показательное неравенство, надо привести правую и левую части неравенства к показательной функции с одним и тем же основанием .

$\bf 1)\ \ 4^{x} > \dfrac{1}{64}\ \ ,\ \ 4^{x} > \dfrac{1}{4^3}\ \ ,\ \ \ 4^{x} > 4^{-3}$  

Так как основание показательной функции больше 1, то она возрастающая , поэтому  знак неравенства между показателями степеней остаётся таким же, как и между функциями .

$\bf x > -3\ \ \Rightarrow \ \ x\in (-3\ ;+\infty \, )$  

$\bf 2)\ \ \Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{2x}\leq \dfrac{1}{81}\ \ ,\ \ 3^{-2x}\leq \dfrac{1}{3^4}\ \ ,\ \ \ 3^{-2x}\leq 3^{-4}$  

Так как основание показательной функции больше 1, то она возрастающая , поэтому  

$\bf -2x\leq -4\ \ ,\ \ x\geq 2\ \ \Rightarrow \ \ x\in [\ 2\ ;+\infty \, )$  

$\bf 3)\ \ 5^{x-1}+5^{x+1}\leq 26\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 5^{x}\cdot 5^{-1}+5^{x}\cdot 5\leq 26\ \ ,\\\\5^{x}\cdot \dfrac{1}{5}+5^{x}\cdot 5\leq 26\ \ ,\\\\5^{x}\cdot (\dfrac{1}{5} +5)\leq 26\ \ ,\\\\5^{x}\cdot \dfrac{26}{5}\leq 26\ \ ,\\\\5^{x}\leq 26:\dfrac{26}{5}\\\\5^{x}\leq 5\\\\x\leq 1\\\\\boldsymbol{x\in (-\infty \, ;\, 1\ ]}$