Question

Провести полный анализ функции:

у=x^3 /

2(x+ 5)^2

Задание выполняется последовательно, со всеми необходимыми

объяснениями. В конце представляется график функции.

Помогите, пожалуйста, кто знает как? Не понимаю.

Answer 1

Функция y=x^3/〖2(x+5)〗^2

Таблица точек

x y

-17 -17,0590278

-16 -16,9256198

-15 -16,875

-14 -16,9382716

-13 -17,1640625

-12 -17,6326531

-11 -18,4861111

-10 -20

-9 -22,78125

-8 -28,4444444

-7 -42,875

-6 -108

-5 -

-4 -32

-3 -3,375

-2 -0,44444444

-1 -0,03125

0 0

1 0,013888889

2 0,081632653

3 0,2109375

 

4 0,395061728

                     

1.  Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R, х ≠ -5.

2. Функция f (x) = x^3/〖2(x+5)〗^2    непрерывна на всей области определения.

Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ -5.

Область значений функции приведена в пункте 5.

3. Точки пересечения с осью координат Ох.

График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:

x^3/〖2(x+5)〗^2 =0.

Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.

Приравниваем нулю: х3 = 0.  х = 0.

f(0)=0^3/〖2(0+5)〗^2 =0.

Значит, функция может принимать значения х = 0, а точка пересечения графика с осью координат Ох: х = 0.

4. Точки пересечения с осью координат Оу.

График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.

В соответствии с пунктом 3 х = 0, точка пересечения графика с осью координат Оу: х = 0.

Результат: f(0) = 0. Точка: A(0, 0).

5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y^'=(x^3+15x^2)/〖2(x+5)〗^3 =0.

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): x^3+15x^2= x^2 (x+15)=0.

Получаем 2 корня этого уравнения и это - точки, в которых возможен экстремум: х = 0 и х = -15.

Эти точки делят область определения функции на 3 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = -5 получаем 4 промежутка монотонности функции:

x ϵ (-∞; -15) U (-15; -5) U (-5; 0) U (0; +∞).

На промежутках находим знаки производной.

Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -16 -15 -6 -5 -0,5 0 1

y' = 0,096168 0 -162 - 0,01989 0 0,037037

Минимума функции нет, точка х = 0 не является точкой экстремума.

Максимум функции  в точке х = -15.

Возрастает на промежутках: x ϵ (-∞; -15) U (-5; 0) U (0; +∞).

Убывает на промежутке: (-15; -5).

Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = -5.

Находим пределы при х→-5_(-0) и х→-5_(+0).

(lim)┬(x→-5)⁡〖x^3/(x+5)^2 =-∞〗.

Так как в точке х = -5 функция  терпит бесконечный разрыв,  то прямая, заданная уравнением х = -5, является вертикальной асимптотой графика.

Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.

6. Точки перегибов графика функции:

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y'' = 0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.

y^''=75x/(x+5)^4 =0.

Это уравнение имеет решение при х = 0, поэтому у графика перегиб в точке (0; 0).

7. Интервалы выпуклости, вогнутости:

Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:

x ϵ (-∞; -5) U (-5; 0) U (0; +∞).

Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:

x = -6 -5 -0,5 0 1

y'' = -450 - -0,091449 0 0,05787

Вогнутая на промежутк=: (0; +∞)

Выпуклая на промежутках: (-∞; -5) и (-5; 0).

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = -5.

Горизонтальные асимптоты графика функции:

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:

(lim)┬(x→∞)⁡〖x^3/〖2(x+5)〗^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует

(lim)┬(x→-∞)⁡〖x^3/〖2(x+5)〗^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид  y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при (lim)┬(  x→±∞)⁡〖(kx+b-f(x)).〗

Находим коэффициент k:    k=(lim)┬(x→±∞)⁡〖(f(x))/x.〗

k=(lim)┬(x→∞)⁡〖x^3/(〖2(x+5)〗^2*x)=x^2/(〖2x〗^2+20x+50)=(x^2/x^2 )/(〖2x〗^2/x^2 +20x/x^2 +50/x^2 )=1/(2+0+0)=1/2.〗

Коэффициент b: b=〖(lim)┬(x→±∞) (〗⁡〖f(x)-kx).〗

(b=lim)┬(          x→±∞)⁡〖 x^3/〖2(x+5)〗^2 -1/2 x=(x^3-x^3-10x^2-25x)/2(x^2+10x+25) =-10/2=-5.〗

Конечный вид асимптоты следующий: y=(1/2)x - 5.

9. Четность и нечетность функции:

Проверим функцию -  четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=〖(-x)〗^3/(2(-x+5)^2 )=〖-x〗^3/〖2(x-5)〗^2 =-x^3/(x-5)^2 ≠f(x)≠-f(x).

3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.