Question

Высшая математика. Интегралы
dx/arctg2x(1+4x²)
(6x-1)dx/√x²+6x-2
dx/√3x+1 +³√3x+1

Answer 1

Ответ:

1)  Метод подведения под знак дифференциала .

$\displaystyle \bf \int \frac{dx}{arctg2x\cdot (1+4x^2)}=\Big[\ u=arctg2x\ ,\ du=\frac{2\, dx}{1+4x^2}\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{d(arctg2x)}{arctg2x})=\frac{1}{2}\cdot ln|arctg2x|+C$  

2) Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе .

$\bf \displaystyle \int \frac{(6x-1)\, dx}{\sqrt{x^2+6x-2}}=\int \frac{(6x-1)\, dx}{\sqrt{(x+3)^2-11}}=\Big[\ t=x+3\ ,\ x=t-3\ ,\ dx=dt\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{6t-19}{\sqrt{t^2-11}}\, dt=3\int \frac{2t\, dt}{\sqrt{t^2-11}}-19\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-11}}=\\\\\\=3\int \frac{d(6t-11)}{\sqrt{t^2-11}}-19\cdot ln\, |\, t+\sqrt{t^2-11}\, |=\\\\\\=3\cdot 2\sqrt{t^2-11} -19\cdot ln\, |\, t+\sqrt{t^2-11}\, |=\\\\\\=6\cdot \sqrt{x^2+6x-2} -19\cdot ln\, |\, t+\sqrt{x^2+6x-2}\, |$  

3)  Интегрирование иррациональных выражений .

$\displaystyle \bf \int \frac{dx}{\sqrt{3x+1}+\sqrt[3]{\bf 3x+1}}=\Big[\ t^6=3x+1\ \ ,\ \ t=\sqrt[6]{\bf 3x+1}\ ,\ x=\frac{1}{3}(t^6-1)\ ,\\\\\\dx=2\, t^5\, dt\ \Big]=2\int \frac{t^5\, dt}{t^3+t^2}=2\int \frac{t^3\, dt}{t+1}=2\int \Big(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\Big)\, dt=\\\\\\=2\cdot \Big(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-ln\, |\, t+1\, |\Big)+C=\\\\\\=2\cdot \Big(\frac{\sqrt{\bf 3x+1}}{3}-\frac{\sqrt[3]{\bf 3x+1}}{2}+\sqrt[6]{\bf 3x+1}-ln\, |\, \bf \sqrt[6]{\bf 3x+1}+1\, |\Big)+C=$

$\bf \displaystyle =\frac{2\sqrt{\bf 3x+1}}{3}-\sqrt[3]{\bf 3x+1}+2\sqrt[6]{\bf 3x+1}-2\, ln\, |\, \bf \sqrt[6]{\bf 3x+1}+1\, |+C$