Question

На рисунке задан прямоугольник со сторонами в 4 и 7 единичных отрезков. В заданный прямоугольник вписаны прямоугольники так, как показано на рисунке. При этом стороны полученных прямоугольников в два раза меньше сторон предыдущих прямоугольников. Процесс продолжается до бесконечности. Чему равна сумма площадей всех прямоугольников?
​

Answer 1

Ответ:

$S_1 + S_2 + S_ 3+ \ldots =37\dfrac{1}{3}$  (ед)²

Объяснение:

S₁ - площадь изначального прямоугольника

S₁ = ab = 7·4  = 28

У следующего прямоугольника  длина равна  a/2  ,  а ширина  b/4 ,  значит его площадь равна :

$\displaystyle S_2 = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4} =\frac{S_1}{4}$

Для  следующего , длина равна   a/4  ,  а ширина  b/4

$\displaystyle S_3 = \frac{a}{4} \cdot \frac{b}{4} = \frac{ab}{16} =\frac{S_1}{16}$

$\displaystyle S_4 = \frac{a}{8} \cdot \frac{b}{8} = \frac{ab}{64} =\frac{S_1}{64}$

....

Продолжая процесс  , мы всегда будем получать что  площадь следующего   уменьшенного прямоугольника будет все время в 4 раза меньше предыдущего , мы получим ряд :

$\displaystyle ab + \frac{ab}{4} +\frac{ab}{16} +\frac{ab}{64} +\ldots$

Вынесем  ab  за скобки

$\displaystyle ab \bigg (1+\frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+\frac{1}{64} + \ldots \bigg )$

Это бесконечно убывающая прогрессия , ее сумму  мы найти воспользовавшись формулой :

$S_n =\dfrac{ b_1}{1-q}$

$\displaystyle 1+\frac{1}{4}+ \frac{1}{16}+\frac{1}{64} + \ldots = \frac{1}{1-\cfrac{1}{4} }=\frac{4}{3}$

Подставим  ab = 28

$\dfrac{4}{3} \cdot 28 = \dfrac{112}{3} =37\dfrac{1}{3}$  (ед)²