Question

Решить неравенство (на картине).

Answer 1

Ответ:

    $\bf 1+\dfrac{6}{log_3x-3}+\dfrac{5}{log_3^2x-log_3(27x^6)+12}\geq 0\ \ ,\ \ \ x > 0$      

Упростим знаменатель второй дроби .

$\bf log_3^2x-log_3(27x^6)+12=log_3^2x-(log_327+log_3x^6)+12=\\\\=log_3^2x-log_33^3-6\, log_3|\, x\, |+12=log_3^2x-3-6\, log_3x+12=\\\\=log_3^2x-6\, log_3x+9=(log_3x-3)^2\ \ ,\ \ \ x > 0$  

Теперь неравенство примет вид

$\bf 1+\dfrac{6}{log_3x-3}+\dfrac{5}{(log_3x-3)^2}\geq 0\ \ ,\ \ ODZ:\{x > 0\ ,\ log_3x\ne 3\}\\\\\\\dfrac{(log_3x-3)^2+6(log_3x-3)+5}{(log_3x-3)^2}\geq 0\ \ ,\ \ ODZ:\{x > 0\ ,\ x\ne 27\}\\\\\\\dfrac{log_3^2x-6\, log_3x+9+6\, log_3x-18+5}{(log_3x-3)^2}\geq 0\\\\\\\dfrac{log_3^2x-4}{(log_3x-3)^2}\geq 0\ \ ,\ \ \ \dfrac{(log_3x-2)(log_3x+2)}{(log_3x-3)^2}\geq 0$  

Сделаем замену:  $\bf t=log_3x\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{(t-2)(t+2)}{(t-3)^2}\geq 0$  

Решим неравенство методом интервалов.

Знаки функции:    $\bf +++[-2\, ]---[\ 2\ ]+++(3)+++$  

 $\bf t\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;\ 3\ )\cup (\ 3\ +\infty \, )$  

Сделаем обратную замену .

$\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\bf log_3x\leq -2\\\bf 2\leq log_3x < 3\\\bf log_3x > 3\end{array}\right\\\bf x > 0\ \ i\ \ x\ne 27\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\bf x\leq 3^{-2}\\\bf 3^2\leq x < 3^3\\\bf x > 3^3\end{array}\right\\\bf x > 0\ \ i\ \ x\ne 27\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\bf x\leq \frac{1}{9}\\\bf 9\leq x < 27\\\bf x > 27\end{array}\right\\\bf x > 0\ \ i\ \ x\ne 27\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow$

Ответ:   $\boldsymbol{x\in (\ 0\ ;\ \frac{1}{9}\ ]\cup [\ 9\ ;\, 27\, )\cup (\ 27\ ;+\infty \, )}$  .