Ответы
Ответ:
х ∈ R; y ∈ R
функция не является четной или нечетной;
функция непериодическая;
Точка пересечения с осью Оу: (0; -3);
Точка пересечения с осью Ох: (2,1; 0);
y > 0 при х ∈ (2,1; +∞); у < 0 при х ∈ (-∞; 2,1);
Функция возрастает на промежутках: (-∞; -1]; [1; +∞);
Функция убывает на промежутке [-1; 1];
х max = -1; x min = 1.
Объяснение:
Исследовать функцию и построить график:
у = х³ - 3х - 3
1. Область определения функции.
х ∈ R
2. Область значений функции.
y ∈ R
3. Четность функции.
- Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.
f(-x) = (-х)³ - 3 ·(-х) - 3 = -x³ + 3x - 3
f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x) ⇒ функция не является четной или нечетной.
4. Периодичность функции.
- Если f(x + T) = f(x - T) = f(x) , то функция периодическая.
Очевидно, что данная функция непериодическая.
5. Точки пересечения графика с осью Оу.
⇒ х = 0
у = 0 - 0 - 3 = -3
Точка пересечения с осью Оу: (0; -3)
6. Нули функции.
- точки пересечения с осью Ох.
⇒ у = 0
х³ - 3х - 3 = 0
Решим графически.
х³ = 3х + 3
Строим графики у = х² и у = 3х + 3 (см. рис)
Абсцисса точки пересечения и будет решением данного уравнения.
Точка пересечения с осью Ох: (2,1; 0)
7. Знакопостоянство функции.
Наш график пересекает ось Ох в точке х = 2,1
1) х > 2,1
Возьмем, например, х = 3
у = 27 - 9 - 3 = 15 > 0
2) x < 2,1
Возьмем, например, х = 0
y = -3 < 0
⇒ y > 0 при х ∈ (2,1; +∞);
у < 0 при х ∈(-∞; 2,1).
8. Производная функции.
f'(x) = 3x² - 3 = 3 (x² - 1) = 3 (x - 1)(x + 1)
9. Критические точки функции.
- точки, в которых производная равна нулю.
3 · (x - 1)(x + 1) = 0
х = 1; х = -1.
10. Промежутки возрастания и убывания функции и экстремумы.
Отметим критические точки на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.
- Если производная имеет знак "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.
(Cм.рис.)
Функция возрастает на промежутках: (-∞; -1]; [1; +∞);
Функция убывает на промежутке [-1; 1]
- Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке - минимум.
⇒ х max = -1; x min = 1.
y(-1) = -1 + 3 - 3 = -1
y(1) = 1 - 3 - 3 = -5
11. Найдем координаты дополнительных точек, чтобы уточнить поведение графика функции.
х = -2 ⇒ у = -8 + 6 - 3 = -5
х = 2 ⇒ у = 8 - 6 - 3 = -1
12. Строим график.
#SPJ1
