Question

Дано 1/x*((x²+1)^0.5))

Вычеслить его интеграл




Я решил , это является нормальным решением или нет? Имею ввиду есть более короткий вариант.

Answer 1

Ответ:

Применяем тригонометрическую замену .

$\bf \displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\Big[\ x=tgt\ ,\ dx=\frac{dt}{cos^2t}\ ,\ \ x^2+1=tg^2t+1=\frac{1}{cos^2t}\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{dt}{tgt\cdot \sqrt{\dfrac{1}{cos^2t}}\cdot cos^2t}=\int \frac{dt}{\dfrac{sint}{cost}\cdot \dfrac{1}{cost}\cdot cos^2t}=\int \frac{dt}{sint}=$

 $\bf \displaystyle =\int \frac{sint\, dt}{sin^2t}=\int \frac{sint\, dt}{1-cos^2t}=-\int \frac{d(cost)}{1-cos^2t}=-\frac{1}{2}\cdot ln\Big|\, \frac{1+cost}{1-cost}\, \Big|+C=\\\\\\=\frac{1}{2}\, ln\, \Big|\, \frac{1-cos(arctgx)}{1+cos(arctgx)}\, \Big|+C=\Big[\ cos(arctgx)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{2}\, ln\, \Big|\, \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}\, \Big|+C\ ;$