Question

Допоможіть будь ласка!!!!!!

Answer 1

Ответ:

Уравнение имеет два корня: 10,  0,01.

Произведение корней: 10 · 0,01 = 0,1

Объяснение:

Решить уравнение:

$\displaystyle x^{1+lgx}=100$

Число под знаком логарифма положительно.

⇒ ОДЗ: x > 0;

Прологарифмируем обе части уравнения:

$\displaystyle lg\;x^{1+lgx}=lg100$

Свойство логарифма:

$\boxed {\displaystyle log_ab^n=n\;log_ab}$

$\displaystyle (1+lg\;x)\cdot lgx=2\\\\lg \;x+ lg^2x-2=0$

$\displaystyle lg^2\;x+lg\;x-2=0$

Выполним замену переменной:

$\displaystyle lg\;x=t\;\;\;$

Получим квадратное уравнение и решим его:

$\displaystyle t^2+t-2=0\\\\D=1+8 = 9;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=3\\ \\t_1=\frac{-1+3}{2}=1;\;\;\;\;\;t_2=\frac{-1-3}{2}=-2$

Обратная замена:

$\displaystyle 1.\;\;\; lg\;x=1\\\\x=10\\\\2.\;\;\;lg\;x=-2\\\\x=10^{-2}\\\\x=\frac{1}{100}\\\\x=0,01$

Уравнение имеет два корня: 10,  0,01.

Произведение корней: 10 · 0,01 = 0,1