Question

Помогите решить, заранее спасибо

Answer 1

Ответ:

$b^{2} =1$

Объяснение:

Дан квадратный трехчлен $f(x) = x^{2} +bx+1$. Известно, что касательные к графику функции, проходящие через начало координат, пересекаются под углом arctg2. Найдите  b²

Если касательные проходят через начало координат , то они задаются уравнением y=kx , где  $k= f'(x{_0})$   и  $x{_0}$ - абсцисса точки касания. Найдем абсциссы точек касания

$f'(x) =( x^{2} +bx+1)'=2x+b$

Тогда

$f'(x{_0}) =2x{_0}+b$

и уравнение касательной имеет вид $y= ( 2x{_0}+b) \cdot x$

Значения функции в точке касания у касательной и функции равны, составим уравнение и найдем абсциссы точек касания

$(2x{_0+b) \cdot x{_0} = x{_0}^{2} +bx{_0} +1;$

$2x{_0^{2} +b x{_0} - x{_0}^{2} -bx{_0} -1=0;$

$x{_0}^{2}=1$

$x{_0}= 1$  или $x{_0}=- 1$

Найдем значения угловых коэффициентов касательных в полученных точках

$k{_1}= 2\cdot1+b=2+b$

$k{_2}= 2\cdot(-1)+b=-2+b$

Так как значения производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс.

Тогда

$tg\alpha {_1} = 2+b$

$tg\alpha {_2} =-2+b$

По условию известно, что касательные к графику функции пересекаются под углом arctg2.

Тогда ( на рисунке схематично показано)

$\alpha {_2} -\alpha {_1}= arctg2$

$tg(\alpha {_2} -\alpha {_1})=tg( arctg2)$

$tg(\alpha {_2} -\alpha {_1})=2$

Воспользуемся формулой тангенса разности

$tg(\alpha -\beta )= \dfrac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha tg\beta }$

$\dfrac{b-2-(b+2) }{1+(b-2)(b+2) } =2$

$\dfrac{b-2-b-2 }{1+b^{2} -4 } =2$

$\dfrac{-4 }{b^{2} -3} =2$

$b^{2} -3=-2;\\b^{2} =1$

#SPJ1