Question

Найти интеграл (3x + 8)/((x - 1)(x + 2)) dx

Answer 1

Для нахождения интеграла нужно воспользоваться теоремой о преобразовании дроби. Пусть F(x) - производная функция, интеграл которой мы хотим найти. Тогда интеграл функции (3x + 8)/((x - 1)(x + 2)) можно найти следующим образом:

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю (x - 1)(x + 2):

(3x + 8)/((x - 1)(x + 2)) = (3(x + 2) + 8(x - 1))/((x - 1)(x + 2))

Найдем производную F'(x):

F'(x) = (3(x + 2) + 8(x - 1))/((x - 1)(x + 2)) = (3x + 6 + 8x - 8)/((x - 1)(x + 2)) = (11x - 2)/((x - 1)(x + 2))

Найдем F(x):

F(x) = integral(F'(x)) dx

F(x) = integral((11x - 2)/((x - 1)(x + 2))) dx

Разложим числитель на множители:

F(x) = integral((11(x - 1) + 11(x + 2))/((x - 1)(x + 2))) dx

Вынесем константу за интеграл:

F(x) = 11 * integral(1/(x - 1) - 1/(x + 2)) dx

Применим формулу интегрирования по частям:

F(x) = 11 * (ln|x - 1| - ln|x + 2| + C)

Таким образом, интеграл функции (3x + 8)/((x - 1)(x + 2)) dx равен:

11 * (ln|x - 1| - ln|x + 2| + C)

Где C - неизвестная константа.