Question

AD-биссектриса наибольшего угла прямоугольного треугольника ABC; DE перпендикулярноAB, DC перпендикулярно AC ( точки Е и К лежат на катетах) Доказать АEDK-Квадрат​

Answer 1

Ответ:

Доказано, что АЕDК - квадрат

Объяснение:

AD-биссектриса наибольшего угла прямоугольного треугольника ABC; DE перпендикулярно AB, DK перпендикулярно AC ( точки Е и К лежат на катетах) Доказать, что АEDK - квадрат​.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

DE ⊥ AB; DK ⊥ AC.

AD - биссектриса.

Доказать: АEDK - квадрат.

Доказательство:

• Больший угол в прямоугольном треугольнике - прямой.

AD - биссектриса прямого угла.

⇒ ∠EAD = ∠DAK = 90° : 2 = 45°.

Рассмотрим ΔAED - прямоугольный.

∠EAD = 45°

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠EDA = 90° - 45° = 45°

• Треугольник, у которого два угла равны - равнобедренный.

⇒ АЕ = ED.

Рассмотрим ΔADK - прямоугольный.

∠DAK = 45°

∠ADK = 90° - 45° = 45°

⇒ ΔADK - равнобедренный.

⇒ АК = КD.

Рассмотрим АЕDК.

DE ⊥ AB; KA ⊥ AB (условие)

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ DE || KA

DK ⊥ AC; EA ⊥ AC

⇒ DK || AC

АЕDК - параллелограмм (по определению)

• Противоположные углы параллелограмма равны.

⇒ ∠ADK = ∠A = 90°.

• Параллелограмм с прямыми углами - прямоугольник.

• В прямоугольнике противоположные стороны равны.

⇒ AE = KD; ED = AK.

С другой стороны  АЕ = ED и АК = КD (см. выше)

⇒ AE = KD = ED = AK.

• Прямоугольник с равными сторонами - квадрат.

⇒ АЕDК - квадрат.

#SPJ1