Question

Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їхніх центрів під кутами 90 і 60°. Знайти радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами дорівнює √3+1
з малюнком будь ласка

Answer 1

Ответ:

R = 2 ед.  r = √2 ед.

Объяснение:

Дано:  АВ⊥ОQ, ∠AOB = 60°,  ∠AQB = 90°, OQ = √3 +1.

Найти R и r.

Треугольник АОВ равносторонний (так как ОА =  ОВ = R, а угол при вершине А = 60°. Значит АВ = R.

В прямоугольных треугольниках АОС и AQC углы

∠AОС = 30°, ∠AQС = 45° соответственно (так как АС=СВ и значит OQ - биссектриса углов АОВ и АQВ).

Тогда ОС = R·Cos30 = (R√3)/2, a QC = r·Cos45 =. =>

(R√3)/2 +  (r·√2)/2 = √3 +1.

Так как АВ - гипотенуза равнобедренного прямоугольного  треугольника АQС, то АВ = r·√2 = R (смотри выше). Тогда

(r·√2·√3)/2 + (r·√2)/2 = √3 +1. =>

(r·√2)/2 = 1 и r = 2/√2 = √2 ед. =>

R = r√2 = 2 ед.