Question

Знайти диференціал шляхом заміни змінної
cos^4xdx/sin^2x

Answer 1

Ответ:

Найти интеграл .

Применим тождество  $\bf sin^2x+cos^2x=1\ \ \Rightarrow \ \ cos^2x=1-sin^2x$  .

$\displaystyle \bf \int \frac{cos^4x}{sin^2x}\, dx=\int \frac{(1-sin^2x)^2}{sin^2x}\, dx=\int \frac{1-2sin^2x+sin^4x}{sin^2x}\, dx=\\\\\\=\int \Big(\frac{1}{sin^2x}-2+sin^2x\Big)\, dx=-ctgx-2x+\int sin^2x\, dx=\\\\\\=-ctgx-2x+\int \frac{1-cos2x}{2}\, dx=-ctgx-2x+\int \Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\, cos2x\Big)\, dx=\\\\\\=-ctgx-2x+\frac{1}{2}\, x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\, sin2x+C=-ctgx-2x+\frac{1}{2}\, x-\frac{1}{4}\, sin2x+C$