x и y положительные действительные числа такие , что x + xy = 20y -y² и y +xy =21x - x² вычислите x + y
Ответы
Сложим уравнения системы:
Теперь умножим обе части первого уравнения на , причем в правой части вместо этого выражения запишем равное ему выражение
. Поскольку
, то равняется нулю это выражение при неположительных значениях "х" и/или "у". Однако, по условию "х" и "у" - положительные числа, поэтому если при таком умножении и происходит потеря решений, то эти решения не удовлетворяют условию.
После умножения получим:
Поскольку по условию , то обе части равенства разделим на
:
Поменяем местами левую и правую части:
Сложим левые и правые части равенств, записанных в рамках:
Решаем квадратное уравнение относительно искомой суммы:
Как видно, два найденных значения суммы положительны. Вследствие этого нельзя гарантировать того, что для каждой из этих двух сумм "х" и "у" положительны.
Рассмотрим второе уравнение в рамке:
С помощью этого уравнения мы сможем найти "у", а зная "у" и зная сумму - впоследствии найти "х". Таким образом, можно будет определить знаки чисел "х" и "у".
Выполним проверку для случая :
В этом случае значение "у" отрицательно. Значит, такой ответ не удовлетворяет условию.
Выполним проверку для случая :
Числитель оценим следующим образом:
Таким образом, числитель положителен. Значит:
Найдем "х":
Оценим следующим образом:
Значит:
Таким образом, случай удовлетворяет условию.
Решить систему можно было непосредственно выразив переменную "х" из первого уравнения и подставив полученное выражение во второе уравнение. Вся задача будет состоять только в аккуратном преобразовании, в результате которого должно получиться три значения "у": ноль, отрицательное и положительное. Поскольку по условию "у" должен быть положительным, то только для этого значения нужно будет просчитать значение "х", после чего найти требуемую сумму.
Ответ: