Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
Точки A(-3;-7;2) B(-3;-1;0) D(5;-3;-2) являются координатами трех вершин трапеции. Учитывая, что AD = 2BC, найти координаты вершины C
Прошу с подробным объяснением :)
Ответы
1) найти уравнение AD, длину стороны AD
2) уравнение параллельной ей прямой, проходящей через В,
3)отложить точку на этой прямой на расстоянии AD/2
1) уравнение прямой через 2 точки А и D:
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
(x+3)/(5+3)=(y+7)/(-3+7)=(z-2)/(-2-2)
(x+3)/8=(y+7)/4=(z-2)/-4
|AD|^2=(5+3)^2+(-3+7)^2+(-2-2)^2=64+16+16=96
AD=4√6
направляющий вектор прямой AD(8;4;-4)
2)у параллельной прямой ВС вектор будет таким же, но проходить он будет через В
(x+3)/8=(y+1)/4=z/(-4)-уравнение прямой ВС
|BC|=AD/2=2√6
Пусть С имеет координаты (a;b;c), тогда найду их связь через |BC|:
|BC|^2=24=(-3-a)^2+(-1-b)^2+(0-c)^2
24=9+6a+a^2+1+2b+b^2+c^2
a^2+b^2+c^2+6a+2b-14=0 (*)
С лежит на прямой ВС, подставлю ее координаты в уравнение ВС
(a+3)/8=(b+1)/4=c/(-4)
(a+3)/2=(b+1)/1=c/(-1); выражу а и b через с и подставлю их в уравнение (*)
b+1=-c; b=-c-1
a+3=2*(-c);a=-2c-3
(-2с-3)^2+(-c-1)^2+c^2+6(-2c-3)+2(-c-1)-14=0
4c^2+12c+9+c^2+2c+1+c^2-12c-18-2c-2-14=0
6c^2-24=0
с^2=4
c=+-2
Два корня по с говорят о том, что от В можно отложить С в двух направлениях. В задаче трапеция, значит подойдет только один корень c=-2 (определено по построению на плоскости по координатам х и у)
a=4-3=1;b=2-1=1
Тогда C(1;1;-2)