Question

корень30*(корень2 + 3) cos(arctg3 + arcctg корень2)

Answer 1

Ответ:

-7.

Объяснение:

Вычислить

$\sqrt{30} \cdot( \sqrt{2} +3) \cdot cos( arctg 3 + arcctg \sqrt{2} )$

Пусть $arctg 3=\alpha$  и      $arcctg\sqrt{2} =\beta$

Тогда $tg\alpha =3$  и  $ctg\beta =\sqrt{2}$

α,β ∈ I четверти , так как значения тангенса и котангенса положительные.

Тогда надо найти $cos( \alpha +\beta )$

Воспользуемся формулой

$cos( \alpha +\beta ) =cos\alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin\beta$

Теперь найдем все значения

Если $tg\alpha =3$ , то найдем $cos \alpha$  и  $sin\alpha$

Воспользуемся формулой

$1+tg^{2} \alpha =\dfrac{1}{cos^{2}\alpha }$

и учтем, что в первой четверти и синус, и косинус положительные.

$\dfrac{1}{cos^{2}\alpha } =1+3^{2} ;\\\\\dfrac{1}{cos^{2}\alpha } =10;\\\\cos^{2} \alpha =\dfrac{1}{10}$

$cos\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{10} }$ , так как α∈ первой четверти.

Так как  $tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha }$, то $sin\alpha =tg\alpha \cdot cos \alpha$

$sin \alpha = 3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10} } = \dfrac{3}{\sqrt{10} }$

Если $ctg\alph\beta =\sqrt{2}$ , то найдем $cos \beta$  и  $sin\beta$

Воспользуемся формулой

$1+ctg^{2} \beta =\dfrac{1}{sin^{2}\beta }$

и учтем, что в первой четверти и синус, и косинус положительные.

$\dfrac{1}{sin^{2}\beta }=1+(\sqrt{2} )^{2} ;\\\\\dfrac{1}{sin^{2}\beta }=1+2;\\\\\dfrac{1}{sin^{2}\beta }=3;\\\\sin^{2} \beta =\dfrac{1}{3}$

$sin\beta =\dfrac{1}{\sqrt{3} }$   так как β∈ первой четверти.

Так как      $ctg\beta =\dfrac{cos\beta }{sin\beta }$   , то    $cos\beta = ctg\beta \cdot sin \beta$

$cos\beta = \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }$

Подставим найденные значения и найдем косинус суммы

$cos( \alpha +\beta ) =\dfrac{1}{\sqrt{10} } \cdot\dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} } - \dfrac{3}{\sqrt{10} } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3} }= \dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{30} } -\dfrac{3}{\sqrt{30} }=\dfrac{\sqrt{2} -3}{\sqrt{30} }$

Тогда можно найти значение заданного выражения

$\sqrt{30} \cdot( \sqrt{2} +3) \cdot cos( arctg 3 + arcctg \sqrt{2} ) =\sqrt{30} \cdot( \sqrt{2} +3) \cdot \dfrac{\sqrt{2} -3}{\sqrt{30} } =\\\\=\dfrac{\sqrt{30} \cdot( \sqrt{2} +3) \cdot(\sqrt{2} -3)}{\sqrt{30} } =(\sqrt{2} )^{2} -3^{2} =2-9=-7.$

#SPJ1