Question

Уравнение, решаемые по формулам комбинаторики

Answer 1

Левая часть: $A^3_x-2C^4_x=\dfrac{x!}{(x-3)!}-2\cdot \dfrac{x!}{4!(x-4)!}=\dfrac{x!}{(x-4)!}\cdot \left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{12}\right)=$

$=\dfrac{x!}{(x-4)!}\cdot\dfrac{12-x+3}{12(x-3)}=\dfrac{x!}{(x-4)!}\cdot \dfrac{15-x}{12(x-3)}$

Правая часть:

$3A^2_x=3\cdot \dfrac{x!}{(x-2)!}=3\cdot \dfrac{(x-2)!\cdot (x-1)x}{(x-2)!}=3x(x-1)$

Приравниваем:

$\dfrac{x!}{(x-4)!}\cdot \dfrac{15-x}{12(x-3)}=3x(x-1)$

$\dfrac{(x-4)!(x-3)(x-2)(x-1)x}{(x-4)!}\cdot \dfrac{15-x}{12(x-3)}-3x(x-1)=0$

$x(x-1)\left(\dfrac{(15-x)(x-2)}{12}-3\right)=0$

$x_1=0$ - не удовлетворяет условию

$x_2=1$ - не удовлетворяет условию

$\dfrac{(15-x)(x-2)}{12}-3=0$

$x^2-17x+66=0$

По теореме Виета:

$x_3=6$

$x_4=11$

Ответ: x = 6; x = 11.