Question

Здравствуйте, помогите пожалуйста с алгеброй

Answer 1

Ответ:

$\vec {x} =2 \cdot \vec {p}-\vec {q} +\vec {r}$

Объяснение:

Нужно знать:

Три вектора образуют базис в том и только в том случае, когда их смешанное произведение отлично от нуля. В этом случае определитель, составленный из координат векторов, отличен от нуля.

Решение. Вычислим определитель, составленный из координат векторов $\vec{p}= (0; 1; 2), \; \vec{q}= (1; 0; 1), \; \vec{r}= (-1; 2; 4)$:

$A=\left|\begin{array}{ccc}0&1&-1\\1&0&2\\2&1&4\end{array}\right| = 0+4-1-0-4-0=-1\neq 0,$

значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

Пусть разложение вектора $\vec{x}$ по этим векторам имеет вид

$\tt \vec{x}=a \cdot \vec{p}+b \cdot \vec{q}+c \cdot \vec{r}.$

Определим числа a, b и c. Для этого решаем систему уравнений:

$\left \{\begin{array}{ccc}0 \cdot a+1 \cdot b-1 \cdot c=-2\\1 \cdot a+0 \cdot b+2 \cdot c=4\\2 \cdot a+1 \cdot b+4 \cdot c=7\end{array} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b-c=-2\\a+2 \cdot c=4\\2 \cdot a+b+4 \cdot c=7\end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=c-2\\a=4-2 \cdot c\\2 \cdot (4-2 \cdot c)+c-2+4 \cdot c=7\end{array} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=c-2\\a=4-2 \cdot c\\8-4 \cdot c+c-2+4 \cdot c=7\end{array} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=1-2=-1\\a=4-2 \cdot 1=2\\c=1\end{array} \Leftrightarrow \vec {x} =2 \cdot \vec {p}-\vec {q} +\vec {r}.$

#SPJ1