Question

100 Баллов за два интеграла

Answer 1

$\displaystyle 1) \int\limits^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{4} \frac{1}{ \sin^2x } \, dx = \boldsymbol{ - \text{ctg}x \bigg |^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{4} = - \text{ctg} \frac{\pi}{2} + \text{ctg} \frac{\pi}{4} =-0+ 1=1}$

$\displaystyle 2) \int\limits^2_1 1 - \frac{1}{x {}^{2} } \, dx = \boldsymbol{ x + \frac{1}{x} \bigg |^2_1 =\bigg( 2+ \frac{1}{2} \bigg) - \bigg(1+1\bigg)= \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}}$

Answer 2

Ответ:

1)1

2)0,5

Объяснение:

Напомню, определенный интеграл находится по формуле Ньютона-Лейбница:

$\boxed{\displaystyle \int ^b_af(x)dx =F(b) - F(a)}$

$\displaystyle 1)\int ^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} \frac{dx}{sin {}^{2} x}$

Прежде чем найти определенный интеграл нужно найти неопределенный.

По табличному значению первообразных:

$\boxed{ \int \frac{dx}{sin {}^{2} x} = - ctg x + C}$

Так как нам нужно найти определённый интеграл , то константу не учитываем. То есть:

$\displaystyle \int ^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} \frac{dx}{sin ^{2} x} = - ctgx\bigg|^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{4} = - ctg \frac{\pi}{2} - \bigg ( - ctg \frac{\pi}{4} \bigg ) = 0 + 1 = 1$

$\displaystyle 2) \int ^2_1= \bigg(1 - \frac{1}{x {}^{2} } \bigg) d x$

Определённый интеграл от алгебраической разности двух функций равен разности интегралов от этих функций.

Значит :

$\displaystyle \int ^2_1\bigg(1 - \frac{1}{x {}^{2} } \bigg) d x = \int ^2_11 dx- \int ^2_1\frac{1}{x {}^{2} } d x = x -\int ^2_1x {}^{ - 2} d x =$

По формуле первообразной степенной функции:

$\boxed{\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C }$

Без учёта константы , то есть:

$\displaystyle = x - \int ^2_1 \frac{x {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} dx = x - \frac{x {}^{ - 1} }{ - 1} = x + x {}^{ - 1} \bigg|^2_1 = 2 + \frac{1}{2} - (1 + 1) = 2.5 - 2 = 0.5$