Question

З’ясувати при яких значеннях параметра а дріб
(a^3-3a^2+3a -1)/(a^5-3a^4+4a^3-4a^(2 )+3a-1)
набуває найбільшого значення. Що це за значення?

Answer 1

Ответ:

При a = 0 дробь приобретает наибольшее значение 1

Пошаговое объяснение:

Перевод: Выяснить, при каких значениях параметра а дробь

$\tt \displaystyle \frac{a^3-3 \cdot a^2+3 \cdot a-1}{a^5-3 \cdot a^4+4 \cdot a^3-4 \cdot a^2+3 \cdot a-1}$

приобретает наибольшее значение. Что это за значение?

Нужно знать формулы сокращённого умножения:

1) (x-y)³ = x³-3·x²·y+3·x·y²-y³;

2) x³-y³ = (x-y)·(x²+x·y+y²).

Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

a³–3·a²+3·a–1 = (a–1)³,

a⁵–3·a⁴+4·a³–4·a²+3·a–1 = (a⁵–1)–(3·a⁴–3·a)+(4·a³–4·a²) =

= (a–1)·(a⁴+a³+a²+a+1)–3·a·(a³–1)+4·a²·(a–1) =

= (a–1)·(a⁴+a³+a²+a+1)–3·a·(a–1)·(a²+a+1)+4·a²·(a–1) =

= (a–1)·(a⁴+a³+a²+a+1–3·a·(a²+a+1)+4·a²) =

= (a–1)·(a⁴+a³+a²+a+1–3·a³–3·a²–3·a+4·a²) =

= (a–1)·(a⁴–2·a³+2·a²–2·a+1) = (a–1)·((a⁴–a)–(2·a³–2·a²)–(a–1)) =

= (a–1)·(a·(a³–1)–2·a²·(a–1)–(a–1)) = (a–1)·(a·(a–1)·(a²+a+1)–2·a²·(a–1)–(a–1)) =

= (a–1)²·(a·(a²+a+1)–2·a²–1) = (a–1)²·(a³+a²+a–2·a²–1) =

= (a–1)²·(a³–a²+a–1) = (a–1)²·(a²·(a–1)+(a–1)) = (a–1)³·(a²+1).

Далее сократим дробь:

$\tt \displaystyle \frac{a^3-3 \cdot a^2+3 \cdot a-1}{a^5-3 \cdot a^4+4 \cdot a^3-4 \cdot a^2+3 \cdot a-1}=\frac{(a-1)^3}{(a-1)^3 \cdot (a^2+1)} =\frac{1}{a^2+1} .$

Последняя дробь принимает наибольшее значение при a = 0 и этим значением будет 1.

#SPJ1