Question

Дано точки A(-2;11), B(7:-1), C(5;10). CE-висота трикутника. Знати точку Е.

Answer 1

Ответ:

Е ( 1; 7)

Пошаговое объяснение:

Даны точки А( -2;11) , В(7; -1) , С (5; 10) . СЕ - высота треугольника . Найти координаты точки Е .

Составим уравнение прямой АВ.

Прямую можно задать уравнением.

$y=kx+b$

Подставим в данное уравнение координаты точек А и В и решим систему уравнений

$\left \{\begin{array}{l} -2k+b= 11, \\ 7k+b = -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 9k= -12, \\ 7k+b = -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} k= -12:9, \\ 7k+b = -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} k= -\dfrac{4}{3} , \\ 7\cdot\left(- \dfrac{4}{3}\right) +b = -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} k= -\dfrac{4}{3} , \\ - \dfrac{28}{3} +b = -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} k= -\dfrac{4}{3} , \\ b = -1+ \dfrac{28}{3} ; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} k= -\dfrac{4}{3} , \\ b = \dfrac{25}{3} ; \end{array} \right.$

Тогда получим уравнение прямой АВ

$y= -\dfrac{4}{3} x+\dfrac{25}{3}$

Если СЕ - высота Δ АВС, СЕ ⊥АВ .

Найдем угловой коэффициент прямой СЕ из условия перпендикулярности.

$k{_1}\cdot k{_2}=-1$

$k{_2}= -1: \left(- \dfrac{4}{3} \right )= \dfrac{3}{4}$

Составим уравнение прямой СЕ

$y= \dfrac{3}{4} x+b$

Так как точка С принадлежит этой прямой, то подставим координаты этой точки и найдем значение b

$\dfrac{3}{4} \cdot 5 +b=10;\\\\b=10-\dfrac{15}{4} ;\\\\b=\dfrac{40-15}{4} ;\\\\b=\dfrac{25}{4}$

Тогда уравнение прямой СЕ

$y= \dfrac{3}{4} x+\dfrac{25}{4} .$

Точка Е  -точка пересечения прямых АВ и СЕ . Найдем абсциссу точки пересечения, решив уравнение

$-\dfrac{4}{3} x+\dfrac{25}{3}=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{25}{4} |\cdot12 ;\\\\-16x+100=9x+75;\\-16x-9x=75-100;\\-25x=-25|\cdot (-1) ;\\25x=25;\\x=25:25;\\x=1$

Найдем ординату данной точки

$y= \dfrac{3}{4} \cdot1+\dfrac{25}{4} =\dfrac{3+25}{4} =\dfrac{28}{4} =7$

Значит, точка Е ( 1; 7)

#SPJ1