Question

...............................................

Answer 1

1. Пусть при первом выборе Кирилл выбрал стаканчик с призом. Поскольку стаканчик с призом 1, а общее число стаканчиков равно 5, то вероятность выбора стаканчика с призом равна 1/5.

Будем схематично обозначать: черный круг - стаканчик с призом, белый - пустой. Слева от черты - текущий выбор Кирилла, справа - остальные станчики в игре.

⚫ | ⚪⚪⚪⚪

После этого по условию убирается два пустых стаканчика.

В игре остается стаканчик с призом у Кирилла и еще два пустых стаканчика.

⚫ | ⚪⚪

Далее, по условию Кирилл меняет стаканчик. Поскольку сейчас стаканчик с призом у него, то после смены выбора у него будет пустой стаканчик.

⚪ | ⚫⚪

После этого по условию убирается пустой стаканчик.

⚪ | ⚫

Далее, Кирилл должен сменить выбор. Естественно сделать это можно единственным способом.

⚫ | ⚪

Стаканчик с призом оказывается у Кирилла.

Таким образом, если изначально Кирилл выбрал стаканчик с призом (это происходит с вероятностью 1/5), то в конце игры в любом случае у него также будет стаканчик с призом.

$p_1=\dfrac{1}{5}$

2. Пусть при первом выборе Кирилл не выбрал стаканчик с призом. Соответственно, вероятность этого равна 4/5.

⚪ | ⚫⚪⚪⚪

Из игры  убирается два пустых стаканчика.

⚪ | ⚫⚪

Далее, Кирилл должен сменить стаканчик. Он может выбрать любой из двух стаканчиков, причем с вероятностью 1/2 он выберет стаканчик с призом, и с вероятностью 1/2 он выберет пустой стаканчик.

2.1. Если Кирилл выбрал стаканчик с призом, то расстановка стаканчиков примет вид:

⚫ | ⚪⚪

Далее, убирается один пустой стаканчик.

⚫ | ⚪

И Кирилл должен сменить стаканчик.

⚪ | ⚫

Как видно, в этом случае, у Кирилла в конце игры будет пустой стаканчик.

2.2 Если Кирилл выбрал пустой стаканчик, то расстановка стаканчиков по сути не изменится:

⚪ | ⚫⚪

После этого убирается один пустой стаканчик.

⚪ | ⚫

И Кирилл меняет стаканчик.

⚫ | ⚪

В этом случае, в конце игры у Кирилла стаканчик с призом.

Этот случай реализуется, если Кирилл изначально выбрал пустой стаканчик (это происходит с вероятностью 4/5), а также при первой смене стаканчика выбрал также пустой стаканчик (это происходит с вероятностью 1/2). Вероятностью второго события при условии наступления первого:

$p_2=\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{2}{5}$

3. События, рассмотренные в пункте 1 и в пункте 2, несовместны. Поэтому, вероятность того, что в конце игры у Кирилла будет находиться стаканчик с призом равна сумме двух найденных вероятностей в первых двух пунктах:

$p=p_1+p_2=\dfrac{1}{5} +\dfrac{2}{5} =\dfrac{3}{5}$

Ответ: 3/5