Question

Как решить этот предел не по лопиталю?

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{8}{5}$

Пошаговое объяснение:

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённые множители. В числителе необходимо получить разность кубов:$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, а в знаменателе — разность четвёртых степеней (через разность квадратов):$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Домножим выражение под знаком предела на дробь $\dfrac{\sqrt[3]{(8+3x)^2}+2\sqrt[3]{8+3x}+4}{(\sqrt[4]{16+5x}+2)(\sqrt{16+5x}+4)}\cdot\dfrac{(\sqrt[4]{16+5x}+2)(\sqrt{16+5x}+4)}{\sqrt[3]{(8+3x)^2}+2\sqrt[3]{8+3x}+4}$ (дробь равна единице, а умножение на единицу не влияет на результат):

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{8+3x}-2}{\sqrt[4]{16+5x}-2}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{(8+3x)^2}+2\sqrt[3]{8+3x}+4}{(\sqrt[4]{16+5x}+2)(\sqrt{16+5x}+4)}\cdot\dfrac{(\sqrt[4]{16+5x}+2)(\sqrt{16+5x}+4)}{\sqrt[3]{(8+3x)^2}+2\sqrt[3]{8+3x}+4}\\= \lim_{x \to 0} \dfrac{8+3x-8}{16+5x-16}\cdot\dfrac{(\sqrt[4]{16+5x}+2)(\sqrt{16+5x}+4)}{\sqrt[3]{(8+3x)^2}+2\sqrt[3]{8+3x}+4}=$

$\displaystyle =\lim_{x \to 0} \dfrac{3x}{5x}\cdot\dfrac{(\sqrt[4]{16+5x}+2)(\sqrt{16+5x}+4)}{\sqrt[3]{(8+3x)^2}+2\sqrt[3]{8+3x}+4}=\\=\dfrac{3}{5} \lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt[4]{16+5x}+2)(\sqrt{16+5x}+4)}{\sqrt[3]{(8+3x)^2}+2\sqrt[3]{8+3x}+4}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{(\sqrt[4]{16}+2)(\sqrt{16}+4)}{\sqrt[3]{8^2}+2\sqrt[3]{8}+4}=\dfrac{8}{5}$