Question

2. Знайти для функції f(x) первісну F(x), графік якої проходить через задану точку M ( x0,y0 ), якщо
3.f(x)=7x^2 -2x+3 M (1,5) .
4.f(x)=sin^2 x +3x^2 M (0,2) .

Answer 1

Ответ:

3)F(x) = 7x³/3 -x² +3x + 2/3

4)F(x) = (2x-sin2x)/4 + x³ + 2

Объяснение:

$\displaystyle 3)f(x) =7x {}^{2} - 2x + 3$

По формуле первообразной степенной функции и константы:

$\boxed{ \boldsymbol{\int {x }^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + C\: ; \: \int adx = ax + C }}$

Получаем:

$\displaystyle F(x) = \int(7x {}^{2} - 2x + 3)dx = \frac{7x {}^{3} }{3} - x {}^{2} + 3x + C$

Находим константу подставив соответствующие координаты точки M(1;5):

$\displaystyle \frac{7 \cdot1 {}^{3} }{3} - 1 {}^{2} + 3 \cdot1 + C = 5 \\ \frac{7}{3} - 1 + 3 + C = 5 \\ \frac{7 - 3 + 9}{3} + C = 5 \\ \frac{13}{3} + C = 5 \\ C = 5 - \frac{13}{3} \\ C = \frac{2}{3}$

Таким образом, первообразная, которая проходит через точку M(1;5) , будет выглядить так:

$\displaystyle \boldsymbol{F(x) = \frac{7x {}^{3} }{3} - x {}^{2} + 3x + \frac{2}{3} }$

$4)f(x) = \sin {}^{2} x + 3x {}^{2}$

Из формулы понижения степени:

$\boxed{ \boldsymbol{ \sin {}^{2} x = \frac{1 - \cos2x}{2} }}$

Следует:

$\displaystyle f(x) = \frac{1 - \cos 2 x }{2} + 3x {}^{2}$

Находим первообразную:

$\displaystyle F(x) = \frac{1}{2} \int(1 - \cos2x)dx + 3 \int(x {}^{2} )dx = \frac{1}{2} \bigg(x - \frac{1}{2} \sin2x \bigg) + 3 \frac{x {}^{3} }{3} = \frac{ 2x - \sin2x}{4} + x {}^{3 } + C$

Находим константу , первообразная проходит через точку M(0;2):

$\displaystyle \frac{2 \cdot0 - \sin(2 \cdot0)}{4} + 0 {}^{3} + C = 2 \\ \frac{0 - 0}{4} + 0 {}^{3} +C = 2 \\ 0 + C = 2 \\ C = 2$

Следовательно , первообразная , которая проходит через точку M(0;2) , будет выглядит так:

$\displaystyle \boldsymbol{ F(x) = \frac{ 2x - \sin2x}{4} + x {}^{3 } + 2}$