Question

решите срочно пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

Найти корни уравнений .

$\bf 1)\ \ 8\, arccos^2x+2\pi \, arccosx-\pi ^2=0$  

Сделаем замену:   $\bf t=arccosx\ \ ,\ \ t\in [\ 0\ ;\ \pi \ ]$  .

Получим квадратное уравнение со вторым чётным коэффициентом .

$\bf 8t^2+2\pi \, t-\pi ^2=0\ \ ,\ \ D/4=(b/2)^2-ac=\pi ^2+8\pi ^2=9\pi ^2=(3\pi )^2\ ,\\\\t_{1,2}=\dfrac{-b/2\pm \sqrt{D/4}}{a}\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{-\pi -3\pi }{8}=-\dfrac{\pi }{2}\notin [\ 0\ ;\ \pi \ ]\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{-\pi +3\pi }{8}=\dfrac{\pi }{4}\in [\ 0\ ;\ \pi \ ]$    

Делаем обратную замену.

$\bf arccos \, x=\dfrac{\pi }{4}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=cos\dfrac{\pi }{4}\ \ ,\ \ x=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\Otvet:\ x=\dfrac{\sqrt2}{2}\ .$  

$\bf 2)\ \ 3\, arcsin^2x+2\pi \, arcsin\, x-\pi ^2=0$    

Сделаем замену:   $\bf t=arcsin\, x\ \ ,\ \ t\in \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big]$  .

Получим квадратное уравнение со вторым чётным коэффициентом .

$\bf 3t^2+2\pi \, t-\pi ^2=0\ \ ,\ \ D/4=(b/2)^2-ac=\pi ^2+3\pi ^2=4\pi ^2=(2\pi )^2\ ,\\\\t_1=\dfrac{-\pi -2\pi }{3}=-\pi \notin \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big]\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{-\pi +2\pi }{3}=\dfrac{\pi }{3}\in \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\ \Big]$

Делаем обратную замену.

$\bf arcsin \, x=\dfrac{\pi }{3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=sin\dfrac{\pi }{3}\ \ ,\ \ x=\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\Otvet:\ x=\dfrac{\sqrt3}{2}\ .$