Question

За означенням знайти похідну f`(0). (Не використовуючи правили Лопіталя)
По определению найти производную f`(0). (Не используя правила Лопиталя)

Спасибо.

Answer 1

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

Определение производной в точке: $\displaystyle f'(x_0)= \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. В нашем случае $x_0=0,f(x_0)=f(0)=0$. Тогда

$\displaystyle f'(0)= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x^3arctg{\dfrac{1}{x\sqrt{x}}}\right)}{x}$

Так как арктангенс — ограниченная функция (то есть при умножении 0 на арктангенс не возникнет неопределённости), то аргумент синуса стремится к нулю. Тогда $\sin{x}\sim x$. Получаем:

$\displaystyle f'(0)= \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3arctg{\dfrac{1}{x\sqrt{x}}}}{x}= \lim_{x \to 0} x^2arctg{\dfrac{1}{x\sqrt{x}}}=0$