Question

а) Решите уравнение
$2cos(\frac{\pi }{2} + x) *sin(\frac{3\pi }{2} -x) = \sqrt{3} cos(4\pi +x)$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi ;\pi ]$.

Answer 1

Ответ:

    $\bf 2cos(\dfrac{\pi }{2}+x)\cdot sin(\dfrac{3\pi }{2}-x)=\sqrt3\, cos(4\pi +x)$  

Сначала применим формулы приведения и упростим уравнение .

$\bf cos(\dfrac{\pi }{2}+x)=-sinx\ \ ,\ \ \ sin(\dfrac{3\pi }{2}-x)=-cosx\ \ ,\ \ cos(4\pi +x)=cosx$

$\bf 2\, sinx\cdot \cdot cosx=\sqrt3\, cosx\\\\cosx\cdot (2\, sinx-\sqrt3)=0$  

Произведение равно 0 , когда хотя бы один из множителей равен 0 .

$\bf a)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ 2\, sinx-\sqrt3=0\ \ ,\ \ sinx=\dfrac{\sqrt3}{2}\ \ ,\ \ x=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi }{3}+\pi k\ \ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in [-2\pi \, ;\ \pi \ ]\ \ \Rightarrow \ \ x=-\dfrac{5\pi }{3}\ ,\ -\dfrac{4\pi }{3}\ ,\ \dfrac{\pi }{3}\ ,\ \dfrac{2\pi }{3}\ ,\ -\dfrac{3\pi }{2}\ ,\ -\dfrac{\pi }{2}\ ,\ \dfrac{\pi }{2}$

$\bf Otvet:\ x_1=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ \ x_2=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi }{3}+\pi k\ \ ,\ n,k\in Z\ ;\\\\{}\qquad \quad \quad x=-\dfrac{5\pi }{3}\ ,\ -\dfrac{4\pi }{3}\ ,\ \dfrac{\pi }{3}\ ,\ \dfrac{2\pi }{3}\ ,\ -\dfrac{3\pi }{2}\ ,\ -\dfrac{\pi }{2}\ ,\ \dfrac{\pi }{2}\ .$