Question

Найти границы функции .Расписать подробно

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-1\right)^{3-2x}}=e^{-2}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить предел:

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-1\right)^{3-2x}}$

Для решения используем второй замечательный предел:

$\boxed {\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} a_n \left(1+ \frac{1}{x\right)^x}=e }$

Преобразуем данное выражение под второй замечательный предел:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-1\right)^{3-2x}}= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-1+1}{x-1\right)^{3-2x}}=\\\\\\= \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x-1\right)^{3-2x}} = \lim_{x \to \infty} \left(\left(1+\frac{1}{x-1\right)^{x-1}\right)^{\frac{1}{x-1}\cdot( 3-2x)}}=\\\\\\=\lim_{x \to \infty} \left(\left(1+\frac{1}{x-1\right)^{x-1}\right)^{\frac{3-2x}{x-1}}}$

Так как  $\displaystyle \frac{1}{x-1}$ → 0  при  х → ∞, то

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x-1\right)^{x-1}}=e$

При этом

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3-2x}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}-\frac{2x}{x} }{\frac{x}{x}-\frac{1}{x} } =\frac{-2}{1}=-2$

Искомый предел равен

$\displaystyle \bf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-1\right)^{3-2x}}=e^{-2}$