Question

Докажите что
$\displaystyle C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+k}= C^{n+1}_{n+k+1}$

Answer 1

$C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+k}= C^{n+1}_{n+k+1}$

Докажем соотношение методом математической индукции.

1. Проверим справедливость равенства при $k=0$:

$C_n^n = C^{n+1}_{n+0+1}$

$C_n^n = C^{n+1}_{n+1}$

$1=1$

Равенство верно.

2. Предположим, что при $k=K$ равенство верно:

$C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+K}= C^{n+1}_{n+K+1}$

3. Докажем, что при $k=K+1$ соотношение будет верным.

$C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+K}+ C^n_{n+K+1}=C^{n+1}_{n+(K+1)+1}$

Используя равенство, записанное на втором шаге, получим:

$\left(C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+K}\right)+ C^n_{n+K+1}=C^{n+1}_{n+(K+1)+1}$

$C^{n+1}_{n+K+1}+ C^n_{n+K+1}=C^{n+1}_{n+K+2}$

Данное равенство, связывающее биноминальные коэффициенты, является верным. В частности, оно используется в треугольнике Паскаля.

В более простом виде оно записывается как:

$C^k_n+ C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1}$

Для доказательства этого соотношения, распишем формулы в левой части и приведем полученные выражения к общему знаменателю:

$C^k_n+ C^{k+1}_n=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}+ \dfrac{n!}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!}=$

$=\dfrac{n!\cdot (k+1)}{k!\cdot (k+1)\cdot (n-k)!}+ \dfrac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!\cdot (n-k)}=$

$=\dfrac{n!\cdot (k+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}+ \dfrac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=$

$=\dfrac{n!\cdot (k+1+n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=\dfrac{n!\cdot (n+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=C_{n+1}^{k+1}$

Таким образом:

$C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+k}= C^{n+1}_{n+k+1}$

Или:

$\sum\limits_{i=0}^k C^n_{n+i}= C^{n+1}_{n+k+1}=\sum\limits_{i=0}^k C^i_{n+i}$