Question

УМОЛЯЮ!!! Решите интеграл (На фото)

Answer 1

Ответ:

Несобственный интеграл сходится, так как

$\displaystyle \bf \int\limits_1^{+\infty }\, \frac{dx}{(3x+1)^2}=\lim\limits _{A \to +\infty}\, \int\limits_1^{A}\, \frac{dx}{(3x+1)^2}=\lim\limits _{A \to +\infty}\Big(\frac{-1}{3\, (3x+1)}\, \Big|_1^{A}\Big)=\\\\\\=\lim\limits _{A \to +\infty}\Big(-\frac{1}{3\, (3A+1)}+\frac{1}{12}\ \Big)=\Big[-\frac{1}{\infty }+const\ =\ const-0\Big]=\frac{1}{12}\ ,\\\\\\\frac{1}{12}=const$  

Замечание. Найдём неопределённый интеграл

$\displaystyle \bf \int \, \frac{dx}{(3x+1)^2}=\Big[\ t=3x+1\ ,\ dt=3\, dx\ ,\ dx=\frac{dt}{3}\ \Big]=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^2}=\\\\\\=\frac{1}{3}\int t^{-2}\, dt=\dfrac{1}{3}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{t}+C=-\frac{1}{3(3x+1)}+C$