Question

МОЛЮ! Решите несобственный интеграл на фото

Answer 1

Ответ:

Несобственный интеграл по определению равен пределу определённого интеграла .

$\displaystyle \bf \int\limits_1^{+\infty }\, \frac{dx}{(3x+1)^2}=\lim\limits _{A \to +\infty}\, \int\limits_1^{A}\, \frac{dx}{(3x+1)^2}=\\\\\\\\\star \ \ \displaystyle \bf \int \, \frac{dx}{(3x+1)^2}=\Big[\ t=3x+1\ ,\ dt=3\, dx\ ,\ dx=\frac{dt}{3}\ \Big]=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^2}=\\\\\\=\frac{1}{3}\int t^{-2}\, dt=\dfrac{1}{3}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{t}+C=-\frac{1}{3(3x+1)}+C\ \ \star$  

$\displaystyle \bf =\lim\limits _{A \to +\infty}\Big(\frac{-1}{3\, (3x+1)}\, \Big|_1^{A}\Big)=\lim\limits _{A \to +\infty}\Big(-\frac{1}{3\, (3A+1)}+\frac{1}{12}\ \Big)=\\\\\\=\Big[-\frac{1}{\infty }+\frac{1}{12}\ =\ \frac{1}{12}-0\ \Big]=\frac{1}{12}$  

Так как получили в результате const , то несобственный интеграл

сходится .