Question

Докажите что при любом n принадлежащем N значение выражения n ^5 - n делится на 10​

Answer 1

Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0.

Если два числа оканчиваются на одну и ту же цифру, то их разность оканчивается на 0.

Таким образом, нам нужно доказать, что числа $n$ и $n^5$ оканчиваются на одну и ту же цифру.

Для этого рассмотрим все возможные последние цифры числа $n$ и найдем соответствующие последние цифры числа $n^5$.

Для небольших чисел можно обойтись непосредственным вычислением:

$n=0\Rightarrow n^5=0^5=0$

$n=1\Rightarrow n^5=1^5=1$

$n=2\Rightarrow n^5=2^5=32$

$n=3\Rightarrow n^5=3^5=243$

$n=4\Rightarrow n^5=4^5=2^{10}=1024$

Для чисел 5 и 6 воспользуется тем, что 5 в любой степени оканчивается на 5 и 6 в любой степени оканчивается на 6 в силу равенств $5\cdot5=25;\ 6\cdot6=36$:

$n=5\Rightarrow n^5=5^5=\ldots5$

$n=6\Rightarrow n^5=6^5=\ldots6$

Для остальных чисел по ходу вычислений будем только последние цифры промежуточных результатов:

$n=7\Rightarrow n^5=7^5=7^2\cdot7^2\cdot7=(49\cdot49)\cdot7=\ldots1\cdot7=\ldots7$

$n=8\Rightarrow n^5=8^5=8^2\cdot8^2\cdot8=(64\cdot64)\cdot8=\ldots6\cdot8=\ldots8$

$n=9\Rightarrow n^5=9^5=9^2\cdot9^2\cdot9=(81\cdot81)\cdot9=\ldots1\cdot9=\ldots9$

Таким образом, числа $n^5$ и $n$ всегда оканчиваются на одну и ту же цифру, а значит их разность оканчивается на 0, а значит делится на 10.

$(n^5-n)\ \vdots\ 10$

Доказано.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

1. При n = 1 выражение = 0 → 0 : 10 = 0.

2.  n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n²-1)(n²+1) = n (n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
    = (n - 1)*n * (n+1)*(n² + 1)
Первые три числа  в выражении - это последовательные числа.
1) Возможно, что среди них есть число (множитель), кратное 5k, тогда, и всё выражение кратно 5, т.е. делится на 5.

2) Если же  такого числа нет, т.е. ни один из множителей на 5 не делится, то возможные остатки при делении: 1, 2, 3, 4 т.к. это последовательные числа. Тогда:
 а) n = 5k + 1
      n² - 1 = 25k² + 10k + 1 - 1 = 5(5k² + 2k) - делится на 5
 а)  n=5k+2, в этом  случае:
      n²+1 = 25k² +20k +4 + 1 = 5·(5k²+4+1) →делится на 5

 б) n=5k+3, но тогда
     n²+1 =25k² + 30k + 9 + 1 = 5·(5k^2+6k+2) → делится  на 5
  в) n = 5k + 4,  в этом случае рассмотрим (n² - 1):
       n² - 1 = 25k² + 40k + 16 - 1 = 5(5k² +8k + 3) → делится на 5

При этом, т.к. числа последовательные, одно из них обязательно будет четным, т.е. делиться на 2.
Если число делится на 2 и 5, то оно делится и на 10, ч.т.д.