Ответы
Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0.
Если два числа оканчиваются на одну и ту же цифру, то их разность оканчивается на 0.
Таким образом, нам нужно доказать, что числа и
оканчиваются на одну и ту же цифру.
Для этого рассмотрим все возможные последние цифры числа и найдем соответствующие последние цифры числа
.
Для небольших чисел можно обойтись непосредственным вычислением:
Для чисел 5 и 6 воспользуется тем, что 5 в любой степени оканчивается на 5 и 6 в любой степени оканчивается на 6 в силу равенств :
Для остальных чисел по ходу вычислений будем только последние цифры промежуточных результатов:
Таким образом, числа и
всегда оканчиваются на одну и ту же цифру, а значит их разность оканчивается на 0, а значит делится на 10.
Доказано.
Ответ:
Объяснение:
1. При n = 1 выражение = 0 → 0 : 10 = 0.
2. n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n²-1)(n²+1) = n (n - 1)(n + 1)(n² + 1) =
= (n - 1)*n * (n+1)*(n² + 1)
Первые три числа в выражении - это последовательные числа.
1) Возможно, что среди них есть число (множитель), кратное 5k, тогда, и всё выражение кратно 5, т.е. делится на 5.
2) Если же такого числа нет, т.е. ни один из множителей на 5 не делится, то возможные остатки при делении: 1, 2, 3, 4 т.к. это последовательные числа. Тогда:
а) n = 5k + 1
n² - 1 = 25k² + 10k + 1 - 1 = 5(5k² + 2k) - делится на 5
а) n=5k+2, в этом случае:
n²+1 = 25k² +20k +4 + 1 = 5·(5k²+4+1) →делится на 5
б) n=5k+3, но тогда
n²+1 =25k² + 30k + 9 + 1 = 5·(5k^2+6k+2) → делится на 5
в) n = 5k + 4, в этом случае рассмотрим (n² - 1):
n² - 1 = 25k² + 40k + 16 - 1 = 5(5k² +8k + 3) → делится на 5
При этом, т.к. числа последовательные, одно из них обязательно будет четным, т.е. делиться на 2.
Если число делится на 2 и 5, то оно делится и на 10, ч.т.д.