Найдите площадь трапеции ABCD, вписанной в окружность, если ее большее основание является диаметром ВН перпендикулярно AD, а отрезки АН и HD равны соответственно 4 см и 16 см.

Ответы

Ответ дал: reygen

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 128 (см)²

Объяснение:

Выясняем , что из себя представляет данная трапеция

Если четырехугольник можно вписать в окружность , то сумма его противоположных углов будет равна 180°

* ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°

К тому же данный четырехугольник является трапецией , и поэтому сумма углов прилежащих к одной стороне трапеции также равна 180°

** ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°

Поскольку ∠A + ∠B = 180° , то ∠A = 180° - ∠B

Подставим в *

∠A + ∠C = 180°

180° - ∠B + ∠C = 180°

∠C - ∠B = 0

∠C = ∠B

Таким образом :

∠A + ∠C = ∠B + ∠D

∠A + ∠B = ∠B + ∠D

∠A = ∠D

Напрашивается логичный вывод , что если около трапеции , можно описать окружность , то она будет равнобедренной*

Находим неизвестное основание ( BC = x)

AD = AH + HD = x + 2y = 4 + 16 = 20 см

Радиус равен половине диаметра AB/2 = 20/2 = 10 см

Нам известно что AH = y = 4 см

x + 2y = 20

x + 4·2 = 20

BC = x = 12 см

Мы нашли величины оснований трапеций , теперь чтобы найти ее площадь , нужно найти величину ее высоты

Находим высоту трапеции (BH = z)

Проводим из центра окружности радиусы BO и OC , которые равны 10 см

Соответственно , проведя вторую высоту CE , легко заметить , что центр окружности O , разбивает отрезок HE = x = 12 см на два отрезка , которые равны между собой OH = OE = x/2 = 6 см , а равны потому что , очевидно что ΔABO равен ΔDCO , за счет того что к ним обоим проведены равные высоты (BH,CE) , и эти высоты будут отсекать равные отрезки AH = ED , OH = OE

Рассмотрим прямоугольный ΔBHO , легко заметить , что к нему применима теорема Пифагора

$BH ^2 + OH^2 = BO^2 \\\\ z^2 + 6^2 = 10^2 \\\\ z^2 = 8^2 \\\\ \underline{BH =z = 8~~~}$