Вписанная окружность прямоугольного треугольника со сторонами AB=8, AC=15 и BC=17, касается стороны AC в точке D. Прямая BD вторично пересекает вписанную окружность в точке E. Найдите DE. Помогите пожалуйста!!!!!!
Ответы
Ответ:
DE = (48√73)/73 ед.
Объяснение:
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с вписанной в него окружностью (см. рисунок).
Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны треугольника.
Доказывается просто: касательные, проведенные из одной точки к окружности равны, поэтому периметр треугольника равен P = 2х+2y+2z. Тогда в нашем случае (см. рисунок),
х = Р/2 - (y+z) = p - AC.
y = p - BC.
Итак, p = (8+17+15)/2 = 20 cм. Тогда
х = 20 - 15 = 5 ед.
y = 20 - 17 = 3 ед.
В прямоугольном треугольнике АВD по Пифагору:
BD = √(8²+3²) = √73 см.
По свойству секущей и касательной, проведенной из одной точки:
х² = BD·ВЕ или 25 = (√73)·ВЕ => ВЕ = 25/√73 cм. =>
DE = BD - BE = √73 - 25/√73 = (73 - 25)/√73 = 48/√73 = (48√73)/73 ед.
