Ответы
По-перше, ми можемо спростити ліву частину рівняння, використовуючи тотожність:
sin^2 x + cos^2 x = 1
Ми можемо використати цю тотожність, щоб переписати косинусний член:
cos^2 x = 1 - sin^2 x
Тепер ми можемо підставити це в рівняння і спростити його:
2sin3x + 5(1 - sin^2 x) = 2
Далі ми можемо використати тотожність:
sin 2x = 2sin x cos x
Ми можемо використати цю тотожність, щоб переписати член синуса:
sin 3x = 3sin x - 4sin^3 x
Тепер ми можемо підставити це в рівняння і спростити його:
2(3sin x - 4sin^3 x) + 5(1 - sin^2 x) = 2
Тепер ми можемо розв'язати це рівняння, виділивши член синуса і використовуючи квадратичну формулу:
6sin x - 8sin^3 x + 5 - 5sin^2 x = 0
-8sin^3 x + 5sin^2 x + 6sin x - 5 = 0
Тепер ми можемо розв'язати sinx за допомогою факторизації або квадратичної формули
sin x = 5/4, -1/4
Тепер ми можемо використовувати зворотну функцію синуса, щоб знайти кут x у радіанах або градусах.
Важливо зазначити, що це не єдиний розв'язок і не одне зі значень x, що задовольняє рівнянню, нам потрібно розглянути область і діапазон функції синуса, щоб знайти всі розв'язки. Щоб знайти весь набір розв'язків тригонометричного рівняння 2sin3x + 5cos2x = 2, нам потрібно знайти всі значення x, які задовольняють рівнянню.
Ми вже з'ясували, що один із розв'язків для sinx дорівнює 5/4, -1/4.
Тепер нам потрібно знайти область і діапазон функції синуса, а також розглянути періодичність функції синуса.
Період функції синуса дорівнює 2π, що означає, що вона повторюється кожні 2π одиниць. Тому ми можемо додавати або віднімати кратні 2π з наших розв'язків, щоб знайти всі можливі розв'язки.
Також ми знаємо, що функція синуса має область усіх дійсних чисел і діапазон [-1,1], тож ми маємо розглядати лише ті розв'язки, що знаходяться в області функції синуса.
Отже, ми можемо записати розв'язки у вигляді x = a + n*2π, де a - один зі знайдених раніше розв'язків, а n - ціле число.
x = (5/4)π + n2π, x = (-1/4)π + n2π.
Ці розв'язки перебуватимуть у діапазоні функції синуса, а також в області функції синуса.
Отже, повний набір розв'язків тригонометричного рівняння 2sin3x + 5cos2x = 2 має вигляд x = (5/4)π + n2π, x = (-1/4)π + n2π, де n - ціле число.