Question

Решать дифференциальные уравнения
1) dy/2y^2=dx/7x^3
2) x^3dy=6y^7dx

Answer 1

1)

$\dfrac{dy}{2y^2} =\dfrac{dx}{7x^3}$

Переменные в дифференциальном уравнении уже разделены. Интегрируем обе части уравнения:

$\int\dfrac{dy}{2y^2} =\int\dfrac{dx}{7x^3}$

$\dfrac{1}{2} \int y^{-2}dy =\dfrac{1}{7} \int x^{-3}dx$

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{y^{-2+1}}{-2+1} =\dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}-C$

$-\dfrac{1}{2y} =-\dfrac{1}{14x^2}-C$

$\dfrac{1}{2y} =\dfrac{1+14Cx^2}{14x^2}$

$y =\dfrac{7x^2}{1+14Cx^2}$

Переобозначим: $14C=C_1$:

$\boxed{y =\dfrac{7x^2}{1+C_1x^2}}$

2)

$x^3dy=6y^7dx$

Выполним разделение переменных:

$\dfrac{dy}{y^7} =\dfrac{6dx}{x^3}$

Интегрируем обе части уравнения:

$\int\dfrac{dy}{y^7} =\int\dfrac{6dx}{x^3}$

$\int y^{-7}dy =6\int x^{-3}dx$

$\dfrac{y^{-7+1}}{-7+1} =6\cdot \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}-C$

$-\dfrac{1}{6y^6} =-\dfrac{6}{2x^2}-C$

$\dfrac{1}{6y^6} =\dfrac{6+2Cx^2}{2x^2}$

$6y^6 =\dfrac{2x^2}{6+2Cx^2}$

$y^6 =\dfrac{x^2}{18+6Cx^2}$

Переобозначим: $6C=C_1$:

$\boxed{y^6 =\dfrac{x^2}{18+C_1x^2}}$