Question

Объясните, пожалуйста, как решать

x⁴-7x³+14x²-7x+1=0

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2},2\pm\sqrt{3}$

Объяснение:

Перед нами симметричное уравнение четвёртой степени, то есть уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое уравнение имеет стандартный алгоритм решения: делим на x² (x = 0 не является корнем уравнения, можно проверить подстановкой) и выделяем полный квадрат относительно $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$.

$x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0|:x^2\\x^2-7x+14-\dfrac{7}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\\x^2+\dfrac{1}{x^2}-7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+14=0$

Рассмотрим выражение $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$

Первые два слагаемых в полученном уравнении — это почти полный квадрат суммы, не хватает двойки. Прибавим её и отнимем:

$x^2+2+\dfrac{1}{x^2}-2-7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+14=0\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+12=0$

Сделаем замену $x+\dfrac{1}{x}=t$ и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2-7t+12=0$

По теореме Виета сумма корней равна 7, их произведение равно 12 — корни равны $t_1=3,t_2=4$.

$x+\dfrac{1}{x}=3|\cdot x\\x^2-3x+1=0\\D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=5\\x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ $x+\dfrac{1}{x}=4|\cdot x\\x^2-4x+1=0\\D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=12\\x=\dfrac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}$