Question

1.В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 9, 12, 15. Найдите диагональ параллелепипеда и угол между диагональю и плоскостью основания.

Answer 1

Ответ:

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 15√2 ед., угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 °.

Объяснение:

В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 9, 12, 15. Найдите диагональ параллелепипеда и угол между диагональю и плоскостью основания.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

AB =9 ед. , AD =12ед., $AA_{1} =15$ ед.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.

Проведем диагональ $DB_{1} .$

$DB_{1} ^{2} =AB ^{2} +AD^{2} +AA_{1} ^{2}; \\\\DB_{1} =\sqrt{AB ^{2} +AD^{2} +AA_{1} ^{2}} ;\\\\DB_{1} =\sqrt{9^{2} +12^{2} +15^{2} } =\sqrt{81+144+225} =\sqrt{450}= \sqrt{225\cdot2} =15\sqrt{2}$

Найдем угол между диагональю и плоскостью основания.

Рассмотрим Δ $BB_{1} D$ - прямоугольный . ∠ $B_{1} DB=\alpha$ - это угол, образованный диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$sin\alpha =\dfrac{BB_{1} }{B_{1} D} ;\\\\sin\alpha =\dfrac{15 }{15\sqrt{2} }=\dfrac{1}{\sqrt{2} } =\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

α = 45°.

#SPJ1