Question

Діаметр кола АВ перпендикулярний до хорди CD. Точка М лежить на колі і не збігається ні з точкою С, ні з точкою D. Доведіть, що промені MA і MB ділять навпіл кути, утворені при перетині прямих МС і MD

Answer 1

Возьмем точку E на продолжении CM.

Углы CMD и DME - смежные.

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Угол AMB - прямой, так как опирается на диаметр AB.

Таким образом, достаточно доказать, что MA - биссектриса угла CMD.

Отметим центр окружности O на диаметре AB.

Радиусы OC и OD равны, треугольник COD - равнобедренный.

AB⊥CD, OH - высота в треугольнике COD.

Высота к основанию  р/б треугольника является также биссектрисой.

OA - биссектриса угла COD.

Центральный угол равен дуге, на которую опирается.

∠COA=∠DOA => ◡CA=◡DA

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Откуда следует, что равные вписанные углы опираются на равные дуги.

◡CA=◡DA => ∠CMA=∠DMA => MA - биссектриса угла CMD

MB⊥MA => MB - биссектриса угла DME