Question

С помощью производной иследовать график функции y=e1/2-x

Answer 1

Ответ:

1. D(y) = (-∞; 2)∪(2; +∞)

2. функция не является четной или нечетной

3. ось Ох не пересекает; Ось Оу график пересекает в точке (0; 1,6)

4. x = 2 - вертикальная асимптота.

y = 1 -горизонтальная асимптота.

5. Функция возрастает на промежутках: (-∞; 2); (2; +∞).

6. Функция вогнута на промежутках: (-∞; 2); (2; 2,5]

Выпукла на промежутке: [2,5; +∞)

В точке х = 2,5 - перегиб.

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle \bf y= e^{ \displaystyle \frac{1}{2-x} }$

1. Область определения функции.

2 - х ≠ 0   ⇒   х ≠ 2

D(y) = (-∞; 2)∪(2; +∞)

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)= e\;^{ \displaystyle \frac{1}{2-(-x)} }=e\;^{\displaystyle \frac{1}{2+x} }$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями.

Так как   $\displaystyle \bf e^{ \displaystyle \frac{1}{2-x} }$ > 0, то график ось Ох не пересекает и расположен выше оси Ох.

Пересечение с Оу ⇒ х = 0

$\displaystyle \bf y(0)=e^{ \displaystyle \frac{1}{2-0} }=\sqrt{e}\approx 1,6$

Ось Оу график пересекает в точке (0; 1,6)

4. Асимптоты.

Вертикальные:

$\displaystyle \lim_{x \to2-0} e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }=e^{\displaystyle \infty }=\infty\\\\\displaystyle \lim_{x \to2+0} e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }=\frac{1}{e^{\displaystyle \infty }} =0$

x = 2 - вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота y = kx + b.

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty}\frac{ e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }}{x} } =\frac{1}{\infty} =0$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \left(e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }}-0\right) =1$

y = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

$\displaystyle y'=e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }\cdot \left(\frac{1}{2-x}\right)'= e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }\cdot \left(-\frac{(2-x)'}{(2-x)^2} \right)=\\\\=e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }\cdot \left(-\frac{-1}{(2-x)^2} \right)=\frac{e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }}{(2-x)^2}$

Числитель и знаменатель положительны, значит функция возрастает на всей области определения.

Критическая точка х = 2

$+++(2)+++$

Функция возрастает на промежутках: (-∞; 2); (2; +∞).

Точек экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка и приравняем к нулю. Найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle y''=\frac{\displaystyle \frac{ e^{ \displaystyle \frac{1}{2-x} }}{(2-x)^2} \cdot (2-x)^2-e^{\displaystyle \frac{1}{2-x}}\cdot 2(2-x)\vdot(-1)}{(2-x)^4} =\\\\\\=e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }\cdot \frac{1+4-2x}{(2-x)^4} =e^{\displaystyle \frac{1}{2-x} }\cdot \frac{5-2x}{(2-x)^4}$

$\displaystyle y''=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;5-2x=0\;\;\;\;\;\\\\x=2,5$

Не забываем про точку х ≠ 2.

$+++(2)+++[2,5]---$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутках: (-∞; 2); (2; 2,5]

Выпукла на промежутке: [2,5; +∞)

В точке х = 2,5 вторая производная меняет знак ⇒ это точка перегиба.

у(2,5) ≈ 0,1

Строим график.