Question

Помогите решить вариант по математике

Answer 1

Ответ:

1) $-\dfrac{1}{2}$

2) $6\sqrt{2}$

3) 0

4) 1,998375

5) $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\left(\sin{\dfrac{x}{2}}+\cos{\dfrac{x}{2}}\right)^2+\cos^2{\dfrac{x}{2}}}$

Пошаговое объяснение:

1) $1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n^2+n}{2}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1+2+...+n}{n-n^2+3}= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2+n}{-2n^2+2n+6}=-\dfrac{1}{2}$

(так как степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению старших коэффициентов)

2) Домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})$ и заменим арксинус на соответствующую бесконечно малую ($\arcsin{f(x)}\sim f(x)$ при $f(x)\to 0$):

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin{3x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}=\lim_{x \to 0} \dfrac{3x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}{(\sqrt{2+x}-\sqrt{2})(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}=\lim_{x \to 0} \dfrac{3x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}{2+x-2}=\\=\lim_{x \to 0} \dfrac{3x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}{x}=\lim_{x \to 0} 3(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})=3(\sqrt{2}+\sqrt{2})=6\sqrt{2}$

3) $\displaystyle \lim_{x \to 0} ctg\, x\cdot\ln{\cos{x}}= \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln{\cos{x}}}{tg\, x}$

При подстановке x = 0 получаем неопределённость вида $\left[\dfrac{0}{0}\right]$. Раскроем её по правилу Лопиталя:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln{\cos{x}}}{tg\, x}=\lim_{x \to 0} \dfrac{(\ln{\cos{x}})'}{(tg\, x)'}= \lim_{x \to 0} \dfrac{-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos^2{x}}}=- \lim_{x \to 0} \sin{x}\cos{x}=0$

4) Зададим функцию $f(x)=\sqrt[5]{x}$. Необходимо вычислить её значение в точке $x=31{,}87$. Представим $x$ в виде $x=x_0+\Delta x$, где $x_0=32,\Delta x=-0{,}13$. Тогда $f(x)$ можно представить в виде $f(x)=f(x_0)+\Delta f$, где $\Delta f\approx df=f'(x)dx=f'(x_0)\Delta x$, то есть $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$.

$f(x_0)=\sqrt[5]{32}=2\\f'(x)=\dfrac{1}{5\sqrt[5]{x^4}},f'(x_0)=\dfrac{1}{5\cdot \sqrt[5]{32^4} }=\dfrac{1}{5\cdot 16}=0{,}0125$

Таким образом,

$\sqrt[5]{31{,}87} \approx 2+0{,}0125\cdot (-0{,}13)=1{,}998375$

5)

$\displaystyle \left(arctg\left(tg\dfrac{x}{2}+1\right)\right)'=\dfrac{1}{\left(tg\dfrac{x}{2}+1\right)^2+1}\cdot \left(tg\dfrac{x}{2}+1\right)'=\dfrac{1}{\left(tg\dfrac{x}{2}+1\right)^2+1}\cdot\\\cdot \dfrac{1}{2\cos^2{\dfrac{x}{2}}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\left(\sin{\dfrac{x}{2}}+\cos{\dfrac{x}{2}}\right)^2+\cos^2{\dfrac{x}{2}}}$