Найти размеры (высоту H и радиус R) прямого кругового цилиндра наибольшего объёма, ось которого совпадает с осью OZ, а сам цилиндр вписан в эллипсоид
Ответы
Ответ:
Высота прямого кругового цилиндра наибольшего объёма
равна , а радиус -
.
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим уравнение эллипсоида .
Перепишем данное уравнение в следующем виде:
Можно сказать, что эллипсоид задается как множество окружностей, которое находятся параллельно плоскости и их радиус зависит от высоты по данному уравнению
. Так как в уравнении эллипсоида
в четной степени, то точки эллипсоида симметричны относительно плоскости
, тогда и вписанный в эллипсоид прямой цилиндр будет симметричен относительно плоскости
. Таким образом достаточно найти прямой цилиндр максимального объема вписанный в часть эллипсоида при
. Так как эллипсоид задается как множество окружностей, которое находятся параллельно плоскости
и их радиус зависит от высоты по данному уравнению
, то высота цилиндра
и
- уравнение окружности, то есть
. Составим функцию которая описывает объем эллипсоида от его радиуса и высоты:
, то есть
, где
вещественнозначная функция.
Продифференцируем функцию
Экстремумы функции
, так как
, то
.
Вторая производная функции
.
Так как и
, то точка
- максимум функции
.
Так как вписанный в эллипсоид прямой цилиндр будет симметричен относительно плоскости , то его высота также симметрична относительно плоскости
, следовательно
.
Радиус окружности прямого цилиндра:
.
![](https://st.uroker.com/files/71c/71ca129bd05c4fd2e1790528ccd10794.jpg)